Primera Prueba de Control 2017/18 (G.I.E.R.M.)

Partícula sobre plano inclinado con muelle y cuerda

Una partícula de masa $m=5m_{0}$ puede moverse sobre un plano inclinado que forma un ángulo $\beta$ con la horizontal. Este ángulo es tal que $\cos \beta =4/5$ y, por tanto, $\mathrm {sen} \,\beta =3/5$. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle se conecta al punto fijo $A$ indicado en la figura. La masa también está conectada a una cuerda inextensible sin masa sobre la que se ejerce una fuerza constante ${\vec {F}}_{0}=F_{0}\,{\vec {\imath }}$. El sistema se ajusta de modo que $m_{0}g=kd$.

1. Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento. Indica de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
2. Escribe la expresión que da la fuerza del muelle.
3. Suponiendo que no hay rozamiento, ¿cuánto debe valer $F_{0}$ para que la posición de equilibrio venga dada por $x=3d$?
4. Con el valor de $F_{0}$ calculado en la pregunta anterior, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático $\mu$, entre la masa y el plano, para que el punto $O$ sea de equilibrio?
5. Supongamos que no hay rozamiento. ¿Cuanto debe valer $F_{0}$ para que la ecuación de movimiento de la masa tenga la forma $m{\ddot {x}}=-kx$?

Partícula en movimiento rectilíneo sometida a fuerza dependiente de la velocidad

Una partícula realiza un movimiento rectilíneo de modo que, en cada instante, su aceleración es $a=-kv^{2}$. En el instante inicial su velocidad es $v_{0}>0$ y está situada en el origen. Calcula su velocidad y posición en cada instante.

Masa sobre otra masa con rozamiento

Un bloque de masa $m$ puede deslizar sobre otro bloque de masa $M=2m$. El contacto entre los dos bloques es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $\mu$. El bloque de masa $M$ desliza sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Se aplica sobre el bloque superior una fuerza horizontal ${\vec {F}}_{0}=3At\,{\vec {\imath }}$, con $A>0$ y constante y $t$ el tiempo.

1. Si la masa superior no desliza respecto de la inferior, ¿cuál es la aceleración de las masas?
2. ¿En que instante la masa superior empieza a deslizar respecto a la inferior?
3. Supongamos ahora que hay rozamiento entre el bloque inferior y la superficie horizontal, con un coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$. ¿Cuánto vale la aceleración de los bloques en este caso?
4. ¿En que instante empieza a deslizar el bloque superior respecto del inferior en este caso?