Partícula sobre plano inclinado con muelle y cuerda, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una partícula de masa $m=5m_{0}$ puede moverse sobre un plano inclinado que forma un ángulo $\beta$ con la horizontal. Este ángulo es tal que $\cos \beta =4/5$ y, por tanto, $\mathrm {sen} \,\beta =3/5$. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle se conecta al punto fijo $A$ indicado en la figura. La masa también está conectada a una cuerda inextensible sin masa sobre la que se ejerce una fuerza constante ${\vec {F}}_{0}=F_{0}\,{\vec {\imath }}$. El sistema se ajusta de modo que $m_{0}g=kd$.

1. Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento. Indica de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
2. Escribe la expresión que da la fuerza del muelle.
3. Suponiendo que no hay rozamiento, ¿cuánto debe valer $F_{0}$ para que la posición de equilibrio venga dada por $x=3d$?
4. Con el valor de $F_{0}$ calculado en la pregunta anterior, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático $\mu$, entre la masa y el plano, para que el punto $O$ sea de equilibrio?
5. Supongamos que no hay rozamiento. ¿Cuanto debe valer $F_{0}$ para que la ecuación de movimiento de la masa tenga la forma $m{\ddot {x}}=-kx$?

Solución

Fuerzas sobre la partícula

La figura de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula. En negro están las fuerzas de las que se conoce su sentido antes de resolver el problema. Sólo es desconocido a priori el sentido de la fuerza de rozamiento.

La expresión de estas fuerzas es

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}}=k(4d-x)\,{\vec {\imath }}-3kd\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{0}=F_{0}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}=-mg\,\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\imath }}-mg\cos \beta \,{\vec {\jmath }}=-3m_{0}g\,{\vec {\imath }}-4m_{0}g\,{\vec {\jmath }}=-3kd\,{\vec {\imath }}-4kd\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {\Phi }}=N\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{r}=f\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Equilibrio sin rozamiento

La condición de equilibrio sin tener en cuenta la fuerza de rozamiento es

${\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{0}+{\vec {P}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &F_{0}+kd-kx=0&(1)\\Y)&\to &N-7kd=0&(2)\end{array}}\right.$

La posición de equilibrio es

$x_{eq}={\dfrac {F_{0}}{k}}+d$

Para que se cumpla $x_{eq}=3d$ debe ocurrir

$F_{0}=2kd.$

La fuerza vincular es

${\vec {\Phi }}=7kd\,{\vec {\jmath }}$

Equilibrio con rozamiento

La condición de equilibrio teniendo en cuenta la fuerza de rozamiento es

${\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{0}+{\vec {P}}+{\vec {\Phi }}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &3kd-kx+f=0&(3)\\Y)&\to &N-7kd=0&(4)\end{array}}\right.$

Si queremos que $x=0$ sea posición de equilibrio debe cumplirse

$f=3kd,\qquad N=7kd.$

Para que esto sea posible debe verificarse

$|f|\leq \mu |N|\Longrightarrow \mu \geq 3/7$

Ecuación de movimiento

Ignoramos de nuevo el rozamiento y consideramos que la partícula puede moverse. La ecuación de movimiento es la Segunda Ley de Newton

$m{\vec {a}}={\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{0}+{\vec {P}}+{\vec {\Phi }}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &m{\ddot {x}}=F_{0}+kd-kx=0&(5)\\Y)&\to &N-7kd=0&(6)\end{array}}\right.$

Si queremos que la ecuación de movimiento tenga la forma $m{\ddot {x}}=-kx$, (la ecuación (5)), debe ocurrir

$F_{0}=-kd.$