Cinemática del oscilador armónico (CMR)

Definición

El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un caso particular de movimiento rectilíneo, caracterizado por la ecuación de movimiento

$a={\ddot {z}}=-\omega ^{2}(z-z_{\mathrm {eq} })$

siendo $\omega$ una constante de proporcionalidad (que tiene dimensiones de inversa de tiempo) y $z_{\mathrm {eq} }$ otra constante, conocida como posición de equilibrio. En la mayoría de las situaciones se define la elongación como la distancia (con signo) respecto a la posición de equilibrio $x=z-z_{\mathrm {eq} }$ y reducir la ecuación a

$a={\ddot {x}}=-\omega ^{2}x$

Solución y propiedades del M.A.S.

La solución de esta ecuación diferencial debe ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a ella misma cambiada de signo. Las funciones que verifican esto son los senos y los cosenos.

$x_{1}=\cos(\omega t)\qquad {\dot {x}}_{1}=-A\omega \,\mathrm {sen} (\omega t)\qquad {\ddot {x}}_{1}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t)=-\omega ^{2}x_{1}$ $x_{2}=\mathrm {sen} (\omega t)\qquad {\dot {x}}_{2}=A\omega \cos(\omega t)\qquad {\ddot {x}}_{2}=-A\omega ^{2}\mathrm {sen} (\omega t)=-\omega ^{2}x_{2}$

La expresión general de un posible desplazamiento que verifique esta ecuación es una combinación de estas dos soluciones

$x=c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\,\mathrm {sen} (\omega t)$

con $c_{1}$ y $c_{2}$ dos constantes que se pueden deducir de la posición y velocidad iniciales. Derivando dos veces, se comprueba que esta función también verifica la ecuación del oscilador armónico.

Imponiendo que la posición inicial valga $x_{0}$ obtenemos

$x_{0}=x(t=0)=c_{1}\overbrace {\cos(0)} ^{=1}+c_{2}\overbrace {\mathrm {sen} (0)} ^{=0}=c_{1}\qquad \Rightarrow \qquad c_{1}=x_{0}$

Derivando e imponiendo que la velocidad inicial valga $v_{0}$

$v_{0}={\dot {x}}(t=0)=-c_{1}\omega \overbrace {\mathrm {sen} (0)} ^{=0}+c_{2}\omega \overbrace {\cos(0)} ^{=1}=c_{2}\omega \qquad \Rightarrow \qquad c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}$

y queda la solución en función de las condiciones iniciales

$x=\displaystyle x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} (\omega t)$

Podemos combinar las dos funciones en una sola si definimos las cantidades $A$ y $\beta$ tales que

$c_{1}=A\cos(\beta )\qquad c_{2}=-A\,\mathrm {sen} (\beta )$

de manera que la solución general puede reescribirse como

$x=A\cos(\omega t+\beta )\,$

siendo $A$ y $\beta$ dos constantes que también se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad iniciales. La equivalencia entre las dos expresiones se demuestra desarrollando el coseno de la diferencia.

En función de las condiciones iniciales queda

$A={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}\qquad \beta =-\mathrm {arctg} \left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\frac {v_{0}}{\omega }}\right)$

La velocidad y la aceleración instantáneas se calculan derivando la expresión de $x(t)$:

$v={\dot {x}}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t+\beta )$  $a={\ddot {x}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\beta )=-\omega ^{2}x\,$

Si representamos la posición a lo largo del eje X como función del tiempo obtenemos una función periódica

$x(t+T)=x(t)\,$

con $T$ el periodo de oscilación. La forma de la función es sinusoidal. Este movimiento se caracteriza por los siguientes variables y constantes:

Elongación, $x(t)$

es la posición instantánea, considerada como distancia (con signo) respecto a la posición central del movimiento.

Fase, $\phi =\omega t+\beta$

Indica en que punto del ciclo se encuentra el sistema. Para un periodo varía entre 0 y 2π rad.

Amplitud, $A$

es la máxima elongación del movimiento. Se mide en m en el SI.

Frecuencia angular, $\omega$

En el SI se mide en rad/s.

Periodo, $T$

Es el intervalo necesario para una oscilación completa. Se calcula a partir de la frecuencia angular como

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

En el SI el periodo se mide en s.

Frecuencia natural, $f$

mide el número de oscilaciones que el sistema realiza en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo

$f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$

En el SI se mide en hercios, Hz, equivalentes a 1 ciclo/s o simplemente a 1 s⁻¹.

Constante de fase, $\beta$

También llamada fase inicial. Nos da el valor de la fase en el instante inicial (t=0). Gráficamente es proporcional a la distancia (medida en radianes) entre el punto de máxima elongación y el instante inicial

La velocidad y la aceleración de este movimiento son también funciones oscilatorias, con el mismo periodo pero desfasadas, un cuarto de periodo la velocidad y medio periodo la aceleración. En un periodo de oscilación, cuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y la aceleración es máxima (pero de signo contrario a la elongación). En el punto central la elongación y la aceleración son nulas, mientras que la velocidad es máxima.

  

El valor extremo de la velocidad corresponde a una fase de $\pi /2$ o $3\pi /2$

$v(t)={\dot {x}}=-A\omega \,\mathrm {sen} (\omega t+\beta )\qquad \Rightarrow \qquad |v|_{\mathrm {max} }=A\omega ={\sqrt {v_{0}^{2}+\omega ^{2}x_{0}^{2}}}$

El valor máximo de la aceleración lo da la propia ecuación de movimiento del oscilador armónico

$a=-\omega ^{2}x\qquad \Rightarrow \qquad |a|_{\mathrm {max} }=\omega ^{2}A$

Estudio empleando variable compleja

Existe una forma más elegante de expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} (\varphi )$    $\mathrm {j} ={\sqrt {-1}}$

o, equivalentemente,

$\cos(\varphi )=\mathrm {Re} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }\right)$    $\mathrm {sen} (\varphi )=\mathrm {Im} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }\right)$

Vectores rotatorios

Si consideramos que el exponente en la fórmula de Euler es proporcional al tiempo, el resultado es un vector rotatorio en el plano complejo

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} (\omega t)$

La parte real de este número complejo rotatorio, esto es, su proyección sobre el eje de abscisas, representa una oscilación cosenoidal. La parte imaginaria oscila igualmente, pero como un seno, esto es, desfasada un cuarto de periodo.

Amplitudes complejas (fasores)

La solución general del movimiento armónico simple, en función de las condiciones iniciales, es

$x=c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\,\mathrm {sen} (\omega t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} (\omega t)$

y, en función de la amplitud y la fase

$x=A\cos(\omega t+\beta )\,$    $A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$    $\beta =-\mathrm {arctg} {\frac {c_{2}}{c_{1}}}=-\mathrm {arctg} {\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}$

Aplicando la fórmula de Euler a la expresión anterior

$x=A\cos(\omega t+\beta )=\mathrm {Re} \left(A\mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\beta )}\right)=\mathrm {Re} \left({\hat {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

donde

${\hat {x}}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \beta }$

es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable $x$. El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante $t=0$ es la amplitud compleja ${\hat {x}}$.

Se define entonces, en general, la amplitud compleja o fasor ${\hat {f}}$ de una cantidad oscilante $f(t)$ como aquel número complejo constante que cuando se multiplica por $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ y se halla la parte real del producto, resulta la cantidad $f(t)$.

$f(t)=\mathrm {Re} \left({\hat {f}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

Este número complejo tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones y por argumento la constante de fase

${\tilde {f}}=\left|{\hat {f}}\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \beta }$

Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor de la posición

${\hat {x}}=A\cos(\beta )+\mathrm {j} A\,\mathrm {sen} (\beta )=c_{1}-\mathrm {j} c_{2}=x_{0}-{\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {j}$

esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales del movimiento.

Velocidad en un MAS

La gran ventaja de la definición de los fasores es que simplifican enormemente las derivadas e integrales.

Si derivamos la expresión fasorial obtenemos la velocidad instantánea de una partícula en un MAS

$v={\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(\mathrm {Re} \left({\hat {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)\right)$

La derivada de una parte real es la parte real de la derivada, y ${\hat {x}}$ es una cantidad constante, por lo que

$v=\mathrm {Re} \left({\hat {x}}{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)\right)=\mathrm {Re} \left(\mathrm {j} \omega {\hat {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

Esto es, la velocidad también se puede escribir en forma fasorial

$v(t)=\mathrm {Re} \left({\hat {v}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

donde

${\hat {v}}=\mathrm {j} \omega {\hat {x}}$

es decir, para calcular el fasor de la derivada de una magnitud, solo necesitamos multiplicar el fasor de dicha magnitud por $\mathrm {j} \omega$. El uso de fasores transforma las derivadas en multiplicaciones.

En función de las condiciones iniciales el fasor de la velocidad es

${\hat {v}}=\mathrm {j} \omega \left(x_{0}-\mathrm {j} {\frac {v_{0}}{\omega }}\right)=v_{0}+\mathrm {j} \omega x_{0}$

Podemos comprobar que efectivamente este fasor produce la velocidad como función del tiempo

$\mathrm {Re} \left((v_{0}+\mathrm {j} \omega x_{0})(\cos(\omega t)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} (\omega t))\right)=-\omega x_{0}\,\mathrm {sen} (\omega t)+v_{0}\cos(\omega t)=v(t)$

El resultado es la derivada temporal de la posición.

En el plano complejo, el fasor de la velocidad está girado 90° respecto al de la posición, como resultado de la multiplicación por la velocidad imaginaria.

Aceleración en un MAS

La misma regla algebraica la podemos aplicar al cálculo de la aceleración. Su fasor será igual al de la velocidad multiplicado por $\mathrm {j} \omega$

${\hat {a}}=\mathrm {j} \omega {\hat {v}}=(\mathrm {j} \omega )^{2}{\hat {x}}=-\omega ^{2}{\hat {x}}$

Gráficamente el fasor de la aceleración está girado 90° respecto al de la velocidad y por tanto posee sentido opuesto al de la posición.

La regla inversa a la de la derivación se aplica a la hora de integrar. Si se sabe que tanto una magnitud como su primitiva son funciones oscilantes, el fasor de la primitiva es simplemente el fasor de la magnitud dividido por $\mathrm {j} \omega$. Así

${\hat {x}}={\frac {\hat {v}}{\mathrm {j} \omega }}=-{\frac {\hat {a}}{\omega ^{2}}}$