Unidad imaginaria
Se define la raíz cuadrada de -1 como la unidad imaginaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{i} = \mathrm{j} = \sqrt{-1}}
En matemáticas se suele representar como i. En ingeniería como j para evitar confusiones con la intensidad de corriente.
Con ayuda de la unidad imaginaria se puede calcular la raíz de cualquier número negativo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{-4}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2\mathrm{j}}
Números complejos
Se definen a partir de un par de números reales como
Los números complejos tienen numerosas similitudes con los pares de 
pero con propiedades adicionales.
Parte real y parte imaginaria
Para un número complejo de la forma anterior
- Parte real
- Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria
- Parte imaginaria
- Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria.
Representación en el plano complejo
Un número complejo puede representarse como un punto 
en un plano (denominado plano complejo). La parte real es la abcisa y la imaginaria la ordenada. El eje real es el conjunto de todos los complejos puramente reales y el eje imaginario el de todos los imaginarios puros.
Alternativamente, en lugar de un punto puede usarse un vector (llamado afijo) que une el origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0}
con el punto P(x,y) del plano.
Forma polar de un número complejo
Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=|z|=\sqrt{x^2+y^2}}
y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real
Las relaciones inversas de estas son
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y por tanto
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Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es
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así
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Conjugado de un número complejo
A partir de un número complejo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = x + y\mathrm{j}}
se define su conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z^*= x - y\mathrm{j}\,}
es decir, con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo.
Gráficamente el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z^*}
es el simétrico de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
respecto al eje real.
En la forma polar, el conjugado tiene el mismo módulo y argumento opuesto
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Cálculo de la parte real y parte imaginaria
Si conocemos un complejo y su conjugado, la parte real y la imaginaria pueden calcularse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{Re}(z)=\frac{z+z^*}{2}\qquad\qquad \mathrm{Im}(z)=\frac{z-z^*}{2\mathrm{j}}}
Cálculo del módulo
A partir del complejo y su conjugado
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Igualdad de complejos
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias
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En términos de módulo y argumento, son iguales cuando tienen el mismo módulo y su argumento se diferencia en un número entero de vueltas
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Suma de números complejos
Para sumar dos complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{lcr}z_1 & = & x_1+\mathrm{j}\,y_1\\ z_2 & = &x_2+\mathrm{j}\,y_2\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\qquad z_1+z_2=(x_1+x_2)+\mathrm{j}(y_1+y_2)}
La suma de complejos verifica las propiedades que definenen un grupo abeliano (asociativa, elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa).
Gráficamente, la suma de números complejos equivale a la suma de vectores en el plano, empleando la regla del paralelogramo o del triángulo.
Producto de números complejos
Aplicando la fórmula del producto de dos binomios
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lo que da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{lcr}z_1 & = & x_1+\mathrm{j}\,y_1\\ z_2 & = &x_2+\mathrm{j}\,y_2\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\qquad z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+\mathrm{j}(x_2y_1+x_1y_2)}
En forma polar, se cumple que los módulos se multiplican y los argumentos se suman
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Gráficamente, el producto de un número complejo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_1}
por otro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_2 =(R_2)_{\varphi_2}}
es una combinación de dos pasos:
- Un giro de un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_2}
- Una dilatación por un factor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2}
En particular, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_2}
es unitario (módulo unidad), la multiplicación por él se reduce a un giro, mientras que si es no unitario pero puramente real el producto se reduce a una dilatación.
Puesto que un complejo y su conjugado tienen argumentos opuestos
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División de números complejos
Para dividir dos números complejos se usa la propiedad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{z^*}{zz^*}=\frac{z^*}{|z|^2}}
de forma que el cociente entre dos complejos se reduce a un producto
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Así, por ejemplo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{3+\mathrm{j}}{2+\mathrm{j}}=\frac{(3+\mathrm{j})(2-\mathrm{j})}{(2+\mathrm{j})(2-\mathrm{j})}=\frac{7-\mathrm{j}}{5}}
Empleando la forma polar equivale a dividir los módulos y restar los argumentos,
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Fórmula de Euler
Empleando el desarrollo en serie de potencias de la exponencial, el seno y el coseno; o bien a partir de la ecuación del oscilador armónico se llega a que, para todo número real Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)}
es decir, la exponencial de un número imaginario puro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{j}\varphi}
es un complejo unitario cuya parte real es el coseno del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi}
y su parte imaginaria es el seno del mismo ángulo, es decir, que se trata del complejo unitario que forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi}
con el eje real
Como caso particulares tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2}=\mathrm{j}\qquad\qquad \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi}=-1}
La última de ellas se escribe habitualmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi}+1=0\,}
La exponencial de un número imaginario se relaciona directamente con la forma polar de un número complejo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = R_\varphi = R\left(\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)=R\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}}
De aquí es inmediata la fórmula para el producto de dos complejos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_1z_2=\left(R_1\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_1}\right)\left(R_2\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_2}\right) = R_1R_2\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\varphi_1+\varphi_2)}}
y lo mismo para el cociente.
Al ser unitaria la exponencial de un número imaginario resulta que la multiplicación de un complejo por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exp(\mathrm{j}\varphi)}
equivale a una rotación de su afijo un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi}
En particular:
- Multiplicar por la unidad imaginaria j equivale a girar un ángulo de 90º
- Multiplicar por -1 equivale a girar un ángulo de 180º
Exponencial de un número complejo
Empleando la fórmula de Euler
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{a+\mathrm{j}b} = \mathrm{e}^a\mathrm{e}^{\mathrm{j}b}=\mathrm{e}^a\left(\cos(b)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(b)\right)}
es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\mathrm{e}^z\right|=\mathrm{e}^{\mathrm{Re}(z)}\qquad \qquad \arg\left(e^z\right)=\mathrm{Im}(z)}
Logaritmo de un número complejo
Invirtiendo la relación anterior queda
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o
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El logaritmo de un número complejo es una función multivaluada ya que para un número complejo hay infinitos argumentos posibles, que se diferencian en un número entero de vueltas en el plano complejo alrededor del origen.
Potencias complejas
Empleando la exponencial y el logaritmo puede hallarse cualquier potencia compleja
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Así, por ejemplo,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{j}^\mathrm{j}=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\ln(\mathrm{j})}=\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\mathrm{j}\pi/2)}=\mathrm{e}^{-\pi/2}\,}
Como caso particular importante, la raíz cuadrada de un número complejo es otro complejo que cumple
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Funciones trigonométricas
Partimos de la fórmula de Euler
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que, conjugada, da
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Despejando entre estas dos queda una fórmula alternativa para el coseno
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y otra para el seno
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Estas relaciones pueden generalizarse a cualquier complejo, no solo a valores reales.
Funciones hiperbólicas
Análogamente a las funciones trigonométricas, se definen el coseno hiperbólico
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y el seno hiperbólico
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