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Tabla de fórmulas de variable compleja

De Laplace

Contenido

1 Unidad imaginaria

Se define la raíz cuadrada de -1 como la unidad imaginaria

\mathrm{i} = \mathrm{j} = \sqrt{-1}

En matemáticas se suele representar como i. En ingeniería como j para evitar confusiones con la intensidad de corriente.

Con ayuda de la unidad imaginaria se puede calcular la raíz de cualquier número negativo

\sqrt{-4}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2\mathrm{j}

2 Números complejos

Se definen a partir de un par de números reales como

z = x + y\mathrm{j}\,

Los números complejos tienen numerosas similitudes con los pares de R2 (x,y) pero con propiedades adicionales.

2.1 Parte real y parte imaginaria

Para un número complejo de la forma anterior

Parte real
Es el sumando que no multiplica a la unidad imaginaria
x = \mathrm{Re}(z)\,
Parte imaginaria
Es el coeficiente que multiplica a la unidad imaginaria.
y = \mathrm{Im}(z)\,

2.2 Representación en el plano complejo

Un número complejo puede representarse como un punto P(x,y) en un plano (denominado plano complejo). La parte real es la abcisa y la imaginaria la ordenada. El eje real es el conjunto de todos los complejos puramente reales y el eje imaginario el de todos los imaginarios puros.

Alternativamente, en lugar de un punto puede usarse un vector (llamado afijo) que une el origen z = 0 con el punto P(x,y) del plano.

2.3 Forma polar de un número complejo

Alternativamente, un número complejo puede representarse por su módulo (el del afijo)

R=|z|=\sqrt{x^2+y^2}

y su argumento, que es el ángulo que el afijo forma con el eje real

\varphi = \arg(z)=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Las relaciones inversas de estas son

x = \mathrm{Re}(z) = |z|\cos(\varphi)\qquad\qquad y = \mathrm{Im}(z) = |z|\mathrm{sen}(\varphi)

y por tanto

z = R\left(\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)

Existen distintas formas de expresar un número complejo en forma polar, una de ellas es

z = R_\varphi

así

z = 6_{30^\circ} = 6\cos(30^\circ)+6\,\mathrm{sen}(30^\circ)\mathrm{j} = 3\sqrt{3}+3\mathrm{j}

3 Conjugado de un número complejo

A partir de un número complejo z = x + yj se define su conjugado

z^*= x - y\mathrm{j}\,

es decir, con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo.

Gráficamente el punto z * es el simétrico de z respecto al eje real.

En la forma polar, el conjugado tiene el mismo módulo y argumento opuesto

\left|z^*\right| = \left|z\right|\qquad\qquad\arg(z^*)=-\arg(z)

3.1 Cálculo de la parte real y parte imaginaria

Si conocemos un complejo y su conjugado, la parte real y la imaginaria pueden calcularse como

\mathrm{Re}(z)=\frac{z+z^*}{2}\qquad\qquad \mathrm{Im}(z)=\frac{z-z^*}{2\mathrm{j}}

3.2 Cálculo del módulo

A partir del complejo y su conjugado

|z| = \sqrt{zz^*}

4 Igualdad de complejos

Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias

z = w \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}\mathrm{Re}(z)& = & \mathrm{Re}(w)\\ \mathrm{Im}(z)&=&\mathrm{Im}(w)\end{array}\right.

En términos de módulo y argumento, son iguales cuando tienen el mismo módulo y su argumento se diferencia en un número entero de vueltas

z = w \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}|z|& = & |w|\\ \mathrm{arg}(z)&=&\mathrm{arg}(w)+2k\pi\end{array}\right.

5 Suma de números complejos

Para sumar dos complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias

\left.\begin{array}{lcr}z_1 & = & x_1+\mathrm{j}\,y_1\\ z_2 & = &x_2+\mathrm{j}\,y_2\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\qquad z_1+z_2=(x_1+x_2)+\mathrm{j}(y_1+y_2)

La suma de complejos verifica las propiedades que definenen un grupo abeliano (asociativa, elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa).

Gráficamente, la suma de números complejos equivale a la suma de vectores en el plano, empleando la regla del paralelogramo o del triángulo.

6 Producto de números complejos

Aplicando la fórmula del producto de dos binomios

z_1z_2=(x_1+\mathrm{j}y_1)(x_2+\mathrm{j}y_2)=x_1x_2+\mathrm{j}x_1y_2+\mathrm{j}x_2y_1+\overbrace{\mathrm{j}^2}^{=-1}y_1y_2

lo que da

\left.\begin{array}{lcr}z_1 & = & x_1+\mathrm{j}\,y_1\\ z_2 & = &x_2+\mathrm{j}\,y_2\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\qquad z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+\mathrm{j}(x_2y_1+x_1y_2)

En forma polar, se cumple que los módulos se multiplican y los argumentos se suman

\left.\begin{array}{lcr}z_1 & = & (R_1)_{\varphi_1}\\ z_2 & = &(R_2)_{\varphi_2}\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow\qquad z_1z_2=(R_1R_2)_{\varphi_1+\varphi_2}

Gráficamente, el producto de un número complejo z1 por otro z_2 =(R_2)_{\varphi_2} es una combinación de dos pasos:

  • Un giro de un ángulo \varphi_2
  • Una dilatación por un factor R2

En particular, si z2 es unitario (módulo unidad), la multiplicación por él se reduce a un giro, mientras que si es no unitario pero puramente real el producto se reduce a una dilatación.

Puesto que un complejo y su conjugado tienen argumentos opuestos

zz^* = |z|^2\,

7 División de números complejos

Para dividir dos números complejos se usa la propiedad

\frac{1}{z}=\frac{z^*}{zz^*}=\frac{z^*}{|z|^2}

de forma que el cociente entre dos complejos se reduce a un producto

\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1z_2^*}{|z_2|^2}

Así, por ejemplo

\frac{3+\mathrm{j}}{2+\mathrm{j}}=\frac{(3+\mathrm{j})(2-\mathrm{j})}{(2+\mathrm{j})(2-\mathrm{j})}=\frac{7-\mathrm{j}}{5}

Empleando la forma polar equivale a dividir los módulos y restar los argumentos,

\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac{|z_1|}{|z_2|}\right)_{\varphi_1-\varphi_2}

8 Fórmula de Euler

Empleando el desarrollo en serie de potencias de la exponencial, el seno y el coseno; o bien a partir de la ecuación del oscilador armónico se llega a que, para todo número real \varphi

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)

es decir, la exponencial de un número imaginario puro \mathrm{j}\varphi es un complejo unitario cuya parte real es el coseno del ángulo \varphi y su parte imaginaria es el seno del mismo ángulo, es decir, que se trata del complejo unitario que forma un ángulo \varphi con el eje real

Como caso particulares tenemos

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2}=\mathrm{j}\qquad\qquad \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi}=-1

La última de ellas se escribe habitualmente

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi}+1=0\,

La exponencial de un número imaginario se relaciona directamente con la forma polar de un número complejo

z = R_\varphi = R\left(\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)=R\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}

De aquí es inmediata la fórmula para el producto de dos complejos

z_1z_2=\left(R_1\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_1}\right)\left(R_2\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_2}\right) = R_1R_2\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\varphi_1+\varphi_2)}

y lo mismo para el cociente.

Al ser unitaria la exponencial de un número imaginario resulta que la multiplicación de un complejo por \exp(\mathrm{j}\varphi) equivale a una rotación de su afijo un ángulo \varphi

En particular:

  • Multiplicar por la unidad imaginaria j equivale a girar un ángulo de 90º
  • Multiplicar por -1 equivale a girar un ángulo de 180º

9 Exponencial de un número complejo

Empleando la fórmula de Euler

\mathrm{e}^{a+\mathrm{j}b} = \mathrm{e}^a\mathrm{e}^{\mathrm{j}b}=\mathrm{e}^a\left(\cos(b)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(b)\right)

es decir

\left|\mathrm{e}^z\right|=\mathrm{e}^{\mathrm{Re}(z)}\qquad \qquad \arg\left(e^z\right)=\mathrm{Im}(z)

10 Logaritmo de un número complejo

Invirtiendo la relación anterior queda

\ln(z)=\ln(|z|) + \mathrm{j}\arg(z)\,

o

\ln(x+\mathrm{j}y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}+\mathrm{j}\,\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

El logaritmo de un número complejo es una función multivaluada ya que para un número complejo hay infinitos argumentos posibles, que se diferencian en un número entero de vueltas en el plano complejo alrededor del origen.

11 Potencias complejas

Empleando la exponencial y el logaritmo puede hallarse cualquier potencia compleja

z_1^{z_2} = \mathrm{e}^{z_2\ln(z_1)}

Así, por ejemplo,

\mathrm{j}^\mathrm{j}=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\ln(\mathrm{j})}=\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\mathrm{j}\pi/2)}=\mathrm{e}^{-\pi/2}\,

Como caso particular importante, la raíz cuadrada de un número complejo es otro complejo que cumple

\left|\sqrt{z}\right| = \sqrt{|z|}\qquad\qquad \arg(\sqrt{z})=\frac{\arg(z)}{2}

12 Funciones trigonométricas

Partimos de la fórmula de Euler

\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)

que, conjugada, da

\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi}=\cos(\varphi)-\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\varphi)

Despejando entre estas dos queda una fórmula alternativa para el coseno

\cos(\varphi) =\mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}\right)= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi}}{2}

y otra para el seno

\mathrm{sen}(\varphi) =\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}\right)= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi}}{2\mathrm{j}}

Estas relaciones pueden generalizarse a cualquier complejo, no solo a valores reales.

13 Funciones hiperbólicas

Análogamente a las funciones trigonométricas, se definen el coseno hiperbólico

\cosh(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}

y el seno hiperbólico

\mathrm{senh}(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}

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