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Problemas de corriente eléctrica

De Laplace

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# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.
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===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
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Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo ``0'') es un  prisma cuadrado hueco de lado interior 43\,mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.
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En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo ``1'' es un paralelepípedo de lados 41\,mm, 20\,mm y 50\,mm. Los electrodos ``2'' y ``3'' son sendos prismas cuadrados de lado 20\,mm y altura 50\,mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1\,mm.
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Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad $\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$
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# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
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# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en $V_1=10\,\mathrm{V}$, $V_2=20\,\mathrm{V}$ y $V_3=-10\,\mathrm{V}$.
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# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
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# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión $V_0=100$\,V, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Revisión de 09:05 5 jun 2008

Contenido

1 Flujo de líquido por una tubería

Por el interior de una tubería cilíndrica de radio a fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, ρ, como

\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}

El líquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente es \mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}. En el exterior del tubo no hay corriente.

  1. Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
  2. Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial \mathbf{K}, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer \mathbf{K}?

2 Velocidad de arrastre

Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

3 Nube de carga en expansión

Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga total de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que \mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r} y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

Solución

4 Resistencia de un tubo

Sea un tubo cilíndrico, de radio interior a y exterior b, y longitud h, de un material de conductividad σ. Calcule la resistencia eléctrica

  1. Entre las dos bases.
  2. Entre la cara interior y la exterior.

5 Cable bimetálico

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestido de cobre. Está formado por un núcleo de aluminio de radio a (suponga a=2\,\mathrm{mm}), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior b (sea b= 3\,\mathrm{mm}).

  1. Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud h=10\,\mathrm{km}.
  2. Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial V_0=100\,\mathrm{V} al cable anterior.

6 Conductividad del suelo

Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

  1. Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio a, perfectamente conductor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
  2. Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión V0, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
  3. Si para una tensión de 100\,\mathrm{V} entre dos electrodos de 10\,\mathrm{cm} de radio se mide una corriente de 0.63\,\mathrm{A}, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

7 Corrientes atmosféricas

La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}

donde

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 &  4.527\\ \hline 2 & 22.2 &  0.375 \\ \hline 3 & 5.9  &
0.121 \\\hline
\end{array}

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

  1. El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (z = 100\,\mathrm{km}).
  2. La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
  3. La distribución de cargas en la atmósfera.
  4. La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
  5. La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
  6. Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

8 Resistencia de una soldadura

Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad r1) de sección S y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad del cable aumenta hasta un valor r2 en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}


  1. Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso S=1\,\mathrm{mm}^2, r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}, r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}, a=2\,\mathrm{mm}.
  2. Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

9 Matriz de conductancia de bloques

Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo ``0) es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43\,mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo ``1 es un paralelepípedo de lados 41\,mm, 20\,mm y 50\,mm. Los electrodos ``2 y ``3 son sendos prismas cuadrados de lado 20\,mm y altura 50\,mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1\,mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad $\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$

  1. Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
  2. Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en $V_1=10\,\mathrm{V}$, $V_2=20\,\mathrm{V}$ y $V_3=-10\,\mathrm{V}$.
  3. Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
  4. Si el electrodo 2 se encuentra a tensión $V_0=100$\,V, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

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