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Problemas de Ecuaciones de Maxwell

De Laplace

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===[[Teorema de Poynting para un condensador]]===
===[[Teorema de Poynting para un condensador]]===
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El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math>, y permeabilidad magnética <math>\mu_0</math>. El radio de las placas es <math>b</math>, y la distancia entre ellas es <math>a</math> (<math>a\ll b</math>). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión <math>V(t)</math>.
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[[Image:ConndesadorVariableRelleno.gif|right]]El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math>, y permeabilidad magnética <math>\mu</math>. El radio de las placas es <math>b</math>, y la distancia entre ellas es <math>a</math> (<math>a\ll b</math>). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión <math>V(t)</math>.
# Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.  
# Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.  

Revisión de 12:05 2 jun 2008

Contenido

1 Campos en un condensador en CA

Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (a\ll b); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una tensión V0cosωt.
  1. Halle, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
  2. Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de Ampère-Maxwell.
  3. Calcule, la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (1), de acuerdo con la ley de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es, comparable al campo estático)?
  4. Indique como serían las siguientes correcciones, tanto en \mathbf{E} como en \mathbf{B}.

Solución

2 Nube de carga en expansión

Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga total de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que \mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r} y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

Solución

3 Teorema de Poynting para un condensador

El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad \varepsilon, conductividad σ, y permeabilidad magnética μ. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a\ll b). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V(t).
  1. Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
  2. Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje \mathbf{B}=\mathbf{0}.
  3. Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema.
  4. ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso?

Solución

4 Teorema de Poynting en un cable coaxial

Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor, y una superficie cilíndrica exterior, de radio b, también perfectamente conductora. Los cilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tensión V0, mientras que la superficie exterior se encuentra a tierra. Simultáneamente, por la superficie del núcleo fluye una corriente I0 en la dirección del eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay distribuida uniformemente una corriente I0.

  1. Halle los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética por unidad de volumen, así como la energía total almacenada en una porción de longitud h del cable coaxial.
  3. Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En qué dirección fluye la energía? Halle el flujo de energía a través de una sección del cable coaxial.

5 Cálculo de fuentes del campo electromagnético

Los campos eléctrico y magnético en el interior de un tubo metálico, de sección cuadrada (que se extiende entre a < x < a y a < y < a, e indefinidamente a lo largo del eje $z$) vienen dado por las expresiones

\mathbf{E} = A x (a^2-y^2)\mathbf{u}_{x}\qquad \mathbf{B} = -2Ax y t \mathbf{u}_{z}

En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.

  1. Pruebe que este campo (\mathbf{E}, \mathbf{B}) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesarias para ser un campo electromagnético.
  2. Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.

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