Primera Convocatoria 2022/23 (G.I.C.)

Posicionamiento de un cohete en órbita

Las agencias espaciales intentan lanzar los cohetes lo mas cerca posible del Ecuador para aprovechar la rotación de la Tierra. Vamos a examinar la razón de esto y cuanto es la ganancia de energía cinética al lanzar los cohetes lo mas cerca posible del Ecuador. El dibujo representa la Tierra. El punto $P$, situado en su superficie, tiene una latitud $\lambda$. El punto $A$ está situado en el plano del Ecuador a una distancia $r_{A}$ del centro de la Tierra. El sistema de ejes $OXYZ$ está fijo en el espacio, de modo que la Tierra rota respecto a él en el sentido en que se indica en la figura.

Dato $R_{T}=6400\,\mathrm {km}$.

1. A partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton, encuentra la velocidad que debe tener un satélite situado en el punto $A$ para que orbite alrededor de la Tierra.
2. Si el punto $P$ de la superficie de la Tierra tiene una latitud $\lambda$, encuentra su rapidez, $v_{P}$, debida a la rotación de la Tierra.
3. Supongamos que el punto $P$ se sitúa sobre el Ecuador ($\lambda =0$), y que un cohete se lanza con rapidez $v_{c}$ respecto a la superficie de la Tierra y
4. alelamente a la superficie de esta. Usando la conservación de energía mecánica cuanto debe valer $v_{c}$ para que el cohete puede ponerse en órbita en el punto $A$ (se desprecia el efecto de la atmósfera)
5. Encuentra el valor numérico de $v_{C}$ si el punto $A$ se sitúa a una distancia infinita de la Tierra. Para ello tienes que expresar el producto $GM_{T}$ en función de $g$, la aceleración de la gravedad en su superficie (siendo $G$ la constante de gravitación universal y $M_{T}$ la masa de la Tierra).