Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada (sólido "2"), de masa y longitud , y un resorte ideal de constante recuperadora y longitud natural nula. El extremo de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo (sólido "1"). El otro extremo de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical . En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a . Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial , el sistema se halla en reposo en la posición , . Recibe entonces una percusión en el extremo . Justo después de la percusión tenemos , , donde es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.

Solución

Cinemática y función de Lagrange

Este sistema es similar al que se estudio en barra rotando con muelle horizontal, en el caso de las dos coordenadas . Recuperamos de ese problema las expresiones de la reducción cinemática

y la función de Lagrange para el caso de las dos coordenadas libres

Recordemos que .

Percusión

Como hay dos coordenadas independientes, tenemos dos ecuaciones percusivas analíticas

Los momentos generalizados son

Las percusiones generalizadas provienen de la acción de la percusión activa

Esta percusión está expresada en los vectores del sólido "1". Hay que tener cuidado en que base se proyectan los vectores. En este problema, la percusión ocurre en el instante . En este instante, , por lo que los ejes y coinciden. Sin embargo, a la hora de calcular velocidades y aceleraciones, es mejor usar la base que sea válida durante todo el tiempo. En este caso, es la base del sólido "0".

En la formulación analítica las percusiones vinculares no aparecen. El peso y el muelle no intervienen porque no son fuerzas percusivas, es decir, su valor está acotado.

Necesitamos calcular

Sus derivadas son

Las percusiones son

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

Como se ha comentado mas arriba, durante la percusión los ejes de los sólidos "0" y "1" coinciden. Entonces podemos escribir

Aplicando las ecuaciones percusivas analíticas tenemos

El problema dice que antes de la percusión el sólido estaba en reposo. Por tanto

Después de la percusión tenemos

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

En este problema los datos son el estado antes y después de la percusión, y las incógnitas son las componentes de la percusión. Es decir

Resolución con ténicas vectoriales

La figura de la derecha muestra el digrama de percusiones libres. El peso y el muelle no intervienen en la percusión pues no son fuerzas percusivas. La percusión garantiza que el extremo de la barra no se mueve respecto al origen del sólido "1".

Observando la expresión de , podría parecer que, dado que no tiene componente en , hay que añadir una componente de momento vincular en la dirección de . Sin embargo, no es así porque el sólido se modela con una barra de grosor nulo. Por tanto, sólo tiene dos grados de lbiertad de rotación, que sí están representados en . No hay que añdir ningún momento vincular.

Las expresiones de las percusiones son

Hemos usado que, durante la percusión, los vectores de la base "0" y "1" coinciden.

Aplicamos ahora los teoremas fundamentales percusivos. Del T.C.M. percusivo (T.C.M.P.) tenemos

La cantidad de movimiento es

Es importante calcular las velocidades de modo que sean válidas para cualquier instante, no sólo durante la percusión.

La variación de la cantidad de movimiento durante la percusión es

Aquí hemos vuelto a usar que durante la percusión los vectores de las bases "0" y "1" coinciden.

Aplicando el T.C.M.P. obtenemos tres ecuaciones