Percusión sobre una barra articulada con muelle (MR-GIC)

Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada $OA$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$, y un resorte ideal de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula. El extremo $O$ de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). El otro extremo $A$ de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador $C$ de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical $OZ_{1}$. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a $OZ_{1}$. Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial $t=0$, el sistema se halla en reposo en la posición $\theta (0)=\pi /4$, $\phi (0)=0$. Recibe entonces una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{x},\,{\hat {F}}_{y},\,0]_{1}$ en el extremo $A$. Justo después de la percusión tenemos ${\dot {\theta }}(0^{+})=3\Omega /{\sqrt {2}}$, ${\dot {\phi }}(0^{+})=3{\sqrt {2}}\Omega$, donde $\Omega$ es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.

Cinemática y función de Lagrange

Este sistema es similar al que se estudio en barra rotando con muelle horizontal, en el caso de las dos coordenadas $\{\theta ,\phi \}$. Recuperamos de ese problema las expresiones de la reducción cinemática

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.$

y la función de Lagrange para el caso de las dos coordenadas libres

$L=T-(U_{g}+U_{m})={\dfrac {1}{2}}I\,({\dot {\phi }}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2})-{\dfrac {1}{2}}mgL\cos \theta -{\dfrac {1}{2}}kL^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .$

Recordemos que $I=mL^{2}/3$.

Percusión

Como hay dos coordenadas independientes, tenemos dos ecuaciones percusivas analíticas

${\begin{array}{l}\Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},\\\Delta p_{\phi }={\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}.\end{array}}$

Los momentos generalizados son

${\begin{array}{l}p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=I{\dot {\theta }},\\p_{\phi }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=I{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .\end{array}}$

Las percusiones generalizadas ${\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},{\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}$ provienen de la acción de la percusión activa

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Esta percusión está expresada en los vectores del sólido "1". Hay que tener cuidado en que base se proyectan los vectores. En este problema, la percusión ocurre en el instante $t=0$. En este instante, $\phi (0)=0$, por lo que los ejes $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ y $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ coinciden. Sin embargo, a la hora de calcular velocidades y aceleraciones, es mejor usar la base que sea válida durante todo el tiempo. En este caso, es la base del sólido "0".

En la formulación analítica las percusiones vinculares no aparecen. El peso y el muelle no intervienen porque no son fuerzas percusivas, es decir, su valor está acotado.

Necesitamos calcular ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,A}&={\vec {v}}_{21}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}=L{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}+L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{0}-L{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0}.\\&{\overrightarrow {OA}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{0}+L\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Sus derivadas son

${\begin{array}{l}{\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\theta }}}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}-L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0},\\{\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\phi }}}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Las percusiones son

${\begin{array}{l}{\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC}=\left.{\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right|_{\theta =\pi /4,\phi =0}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{x},\\{\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}=\left.{\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right|_{\theta =\pi /4,\phi =0}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{y}.\end{array}}$

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

Como se ha comentado mas arriba, durante la percusión los ejes de los sólidos "0" y "1" coinciden. Entonces podemos escribir

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Aplicando las ecuaciones percusivas analíticas tenemos

${\begin{array}{l}\Delta p_{\theta }={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{x},\\\Delta p_{\phi }={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{y}\end{array}}$

El problema dice que antes de la percusión el sólido estaba en reposo. Por tanto

$p_{\theta }(0^{-})=0,\qquad p_{\phi }(0^{-})=0.$

Después de la percusión tenemos

${\begin{array}{l}p_{\theta }(0^{+})=I{\dot {\theta }}(0^{+})={\dfrac {3}{\sqrt {2}}}I\Omega ,\\p_{\phi }(0^{+})=I{\dot {\phi }}(0^{+})\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta (0))=3I\Omega .\end{array}}$

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

En este problema los datos son el estado antes y después de la percusión, y las incógnitas son las componentes de la percusión. Es decir

${\begin{array}{l}{\hat {F}}_{x}={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\Delta p_{\theta }={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\,(p_{\theta }(0^{+})-p_{\theta }(0^{-}))={\dfrac {3I\Omega }{L}}=mL\Omega ,\\{\hat {F}}_{y}={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\Delta p_{\phi }={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\,(p_{\phi }(0^{+})-p_{\phi }(0^{-}))={\dfrac {3I\Omega }{L}}=mL\Omega .\end{array}}$

Resolución con ténicas vectoriales

La figura de la derecha muestra el digrama de percusiones libres. El peso y el muelle no intervienen en la percusión pues no son fuerzas percusivas. La percusión ${\vec {\hat {O}}}_{21}$ garantiza que el extremo $O$ de la barra no se mueve respecto al origen $O$ del sólido "1".

Observando la expresión de ${\vec {\omega }}_{21}$, podría parecer que, dado que no tiene componente en ${\vec {\imath }}_{0}$, hay que añadir una componente de momento vincular en la dirección de $X_{0}$. Sin embargo, no es así porque el sólido se modela con una barra de grosor nulo. Por tanto, sólo tiene dos grados de lbiertad de rotación, que sí están representados en ${\vec {\omega }}_{21}$. No hay que añdir ningún momento vincular.

Las expresiones de las percusiones son

${\begin{array}{l}{\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{0,1}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{0,1},\\{\vec {\hat {O}}}_{21}={\hat {O}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{0,1}+{\hat {O}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{0,1}.\end{array}}$

Hemos usado que, durante la percusión, los vectores de la base "0" y "1" coinciden.

Aplicamos ahora los teoremas fundamentales percusivos. Del T.C.M. percusivo (T.C.M.P.) tenemos

$\Delta {\vec {C}}={\vec {\hat {F}}}+{\vec {\hat {O}}}_{21}.$

La cantidad de movimiento es

${\begin{array}{ll}{\vec {C}}&=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=m\,({\vec {v}}_{21}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}})={\dfrac {1}{2}}mL{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dfrac {1}{2}}mL{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{0}-{\dfrac {1}{2}}mL{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0}.\\&{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {1}{2}}L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {1}{2}}L\cos \theta \,{\vec {k}}_{0}.\end{array}}$

Es importante calcular las velocidades de modo que sean válidas para cualquier instante, no sólo durante la percusión.

La variación de la cantidad de movimiento durante la percusión es

$\Delta {\vec {C}}=\left({\vec {C}}^{+}-{\vec {C}}^{-}\right)_{\theta =\pi /4,\phi =0}={\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\,\Delta {\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0,1}+{\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\Delta {\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0,1}-{\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\Delta {\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0,1}.$

Aquí hemos vuelto a usar que durante la percusión los vectores de las bases "0" y "1" coinciden.

Aplicando el T.C.M.P. obtenemos tres ecuaciones

${\begin{array}{lclr}X_{0})&\to &{\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\Delta {\dot {\theta }}={\hat {O}}_{x}+{\hat {F}}_{x},&(1)\\Y_{0})&\to &{\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\Delta {\dot {\phi }}={\hat {O}}_{y}+{\hat {F}}_{y},&(2),\\Z_{0})&\to &-{\dfrac {mL}{2{\sqrt {2}}}}\Delta {\dot {\theta }}={\hat {O}}_{z}.&(3)\end{array}}$

Ahora aplicamos el T.M.C. Percusivo (T.M.C.P.). Vamos a aplicarlo en el punto $O$. La única percusión que crea momento es ${\vec {\hat {F}}}$

$\Delta {\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OA}}\times {\vec {\hat {F}}}.$

El momento angular es

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

El tensor de inercia debe ser expresado en ejes solidarios con el sólido "2". Vamos a utilizar los ejes "2" que usamos en barra articulada rotando en el espacio. Para poder hacer el producto el tensor de inercia y el vector rotación tienen que estar expresados en la misma base. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{0}=\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{2},\\{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\jmath }}_{2},\\{\vec {k}}_{0}=-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\cos \theta \,{\vec {k}}_{2}.\end{array}}$

con lo que el vector rotación expresado en la base "2" queda

${\vec {\omega }}_{21}=\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}$

El momento angular en $O$ es

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\cos \theta \end{array}}\right]_{2}=\left[{\begin{array}{c}-I{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \\I{\dot {\theta }}\\0\end{array}}\right]_{2}$

con $I=mL^{2}/3$.

Podemos expresar el momento angular en la base "0" o, alternativamente, proyectar la percusión ${\vec {\hat {F}}}$ en la base "2"

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{2}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{2}+{\hat {F}}_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{2}.$

La variación del momento angular es

$\Delta {\vec {L}}_{O}=\left({\vec {L}}_{O}^{+}-{\vec {L}}_{O}^{-}\right)_{\theta =\pi /4,\phi =0}=-{\dfrac {I}{\sqrt {2}}}\,\Delta {\dot {\phi }}\,{\vec {\imath }}_{2}+I\Delta {\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

Y el momento percusivo es

${\overrightarrow {OA}}\times {\vec {\hat {F}}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{2}&{\vec {\jmath }}_{2}&{\vec {k}}_{2}\\0&0&L\\{\hat {F}}_{x}\cos \theta &{\hat {F}}_{y}&{\hat {F}}_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta \end{array}}\right|_{2}=-L{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\imath }}_{2}+L{\hat {F}}_{x}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{2}.$

En el instante de la percusión es

$\left.{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {\hat {F}}}\right|_{\theta =\pi /4,\phi =0}=-L{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dfrac {L{\hat {F}}_{x}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

Aplicando el T.M.C.P. obtenemos dos ecuaciones

${\begin{array}{lclr}X_{2})&\to &{\dfrac {I}{\sqrt {2}}}\Delta {\dot {\phi }}=L{\hat {F}}_{y},&(4)\\Y_{2})&\to &I\Delta \theta ={\dfrac {L{\hat {F}}_{x}}{\sqrt {2}}}.&(5)\end{array}}$

Las incógnitas son $\{{\hat {F}}_{x},{\hat {F}}_{y},{\hat {O}}_{x},{\hat {O}}_{y},{\hat {O}}_{z}\}$. Con las cinco ecuaciones obtenidas llegamos a

${\vec {\hat {F}}}=mL\Omega \,({\vec {\imath }}_{0,1}+{\vec {\jmath }}_{0,1}),\qquad {\vec {\hat {O}}}_{21}=mL\Omega \left(-{\dfrac {1}{4}}{\vec {\imath }}_{0,1}+{\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\jmath }}_{0,1}-{\dfrac {3}{4}}\,{\vec {k}}_{0,1}\right).$