(Página creada con «==Enunciado== Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo? Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los p…»)
 
(Página creada con «== Enunciado == Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50.0 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia ''f'' = 262 Hz que forma un ángulo de 30.0º con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y q…»)
 
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==Enunciado==
== Enunciado ==
Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?
Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50.0 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia ''f'' = 262 Hz que forma un ángulo de 30.0º con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y que la densidad del agua es 1.06×10³ kg/m³, calcule


Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?
# La velocidad del sonido en el agua
# El módulo de compresibilidad del agua
# La longitud de onda de la señal emitida.


==Solución==
== Solución ==
El tiempo en llegar al extremo superior es la suma del que emplea en recorrer el hilo de cobre más el que tarda en recorrer el de acero.
[[Imagen:Onda_sonora_en_agua.png|400px|right]]
Si ''H'' es la profundidad del lecho marino, la distancia entre el barco y el pecio es
<center>
<math>
d = \dfrac{H}{\mathrm{sen}\,\alpha} = 100\,\mathrm{m}
</math>
</center>
El intervalo de tiempo que nos dan es el tiempo que la onda tarda en ir y volver desde el barco hasta el pecio. Por tanto la velocidad de la onda sonora en el agua es
<center>
<math>
c = \dfrac{2\,d}{\Delta t} = \dfrac{2\times100\,\mathrm{m}}{0.135\,\mathrm{s}} = 1.48\,\mathrm{km/s}
</math>
</center>


<center><math>\Delta t = \frac{L_1}{v_1}+\frac{L_2}{v_2}</math></center>
La velocidad del sonido en el agua es
 
<center>
donde denomianmos &ldquo;1&rdquo; al cable de acero y &ldquo;2&rdquo; al de cobre.
<math>
 
c = \sqrt{\dfrac{B}{\rho}}
La velocidad en cada medio es diferente debido a las distintas densidades de masa. Para cada uno de los cables tenemos que
</math>
 
</center>
<center><math>\mu_i = \frac{m_i}{L_i}</math></center>
donde ''B'' es el módulo de compresibilidad y <math>\rho </math> es la densidad volumétrica del agua. Entonces
 
<center>
siendo la masa total de cada cable
<math>
 
B = \rho\,c^2 = 2.32\times10^9\,\mathrm{Pa}
<center><math>m_i = \rho_i V_i = \rho_i S_i L_i = \rho_i \frac{\pi D_i^2}{4}L_i</math>{{tose}}<math>m_1=18.5\,\mathrm{g}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m_2=14.1\,\mathrm{g}</math></center>
</math>
 
</center>
Las densidades lineales de masa valen
El módulo de compresibilidad mide la resistencia de un medio a cambiar su volumen cuando es comprimido. Por definición
 
<center>
<center><math>\mu_i=\frac{\pi \rho_iD_i^2}{4}</math>{{tose}}<math>\mu_1=6.17\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mu_2=7.74\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}</math></center>
<math>
 
\dfrac{\Delta V}{V} = -\dfrac{1}{B}\Delta P
De aquí que la velocidad en cada medio sea
</math>
 
</center>
<center><math>v_i=\sqrt{\frac{F_T}{\mu_i}}=\sqrt{\frac{Mg}{\pi \rho_iD_i^2/4}}=\frac{2}{D_i}\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho_i}}</math>{{tose}}<math>v_1=178\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_1=159\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
Un medio con un valor grande de ''B'' varía muy poco su volumen cuando es sometido a un incremento de presión <math>\Delta P </math>. Con el dato obtenido para ''B'', para variar en un 1% el volumen de una masa de agua, la sobrepresión necesaria es
 
<center>
La tensión a la que están sometidos los dos cables es la misma e igual al peso de la masa situada en el extremo inferior. Esto presupone que despreciamos el efecto en la tensión de la masa de los propios cables. Más adelante examinaremos si este efecto es importante.
<math>
 
|\Delta P| = B\dfrac{\Delta V}{V} = 2.32\times10^9\,\mathrm{Pa} \times 0.01 =
Sustituyendo en la expresión del tiempo de viaje nos queda finalmente
2.32\times10^7\,\mathrm{Pa} = 229\,\mathrm{atm}
 
</math>
<center><math>\Delta t=\frac{D_1L_1}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_1}{Mg}}+\frac{D_2L_2}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_2}{Mg}}=28.9\,\mathrm{ms}</math></center>
</center>
 
Es decir, el agua es esencialmente incompresible.
En los cálculos anteriores hemos considerado que la tensión se debe exclusivamente a la masa que cuelga de los cables, despreciando el efecto de estos. Ésta es una hipótesis razonable puesto que la masa total de los cables es de 32.6&thinsp;g, lo cual es un 0.16% de la masa de la pesa. Esto nos permite suponer que el error que estamos cometiendo es del orden de la décima del 1%, esto es, en la tercera cifra decimal.
 
Podemos hacer una estimación más precisa del error cometido sin necesidad de resolver el problema completo teniendo en cuenta la masa de los cables (lo cual es factible, pero requiere cálculo integral). El tiempo real estará comprendido entre el que hemos calculado y el que correspondería a una masa colgante <math>M'=M+m_1+m_2</math>. El cociente entre el tiempo que obtendríamos con esta masa y el que hemos hallado es
 
<center><math>\frac{\Delta t'}{\Delta t} =\sqrt{\frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{M}{M+m_1+m_2}}</math></center>
 
y el error relativo cometido estará en el rango
 
<center><math>\epsilon < \left|\frac{\Delta t'-\Delta t}{\Delta t}\right|=\left|\sqrt{\frac{M}{M+m_1+m_2}}-1\right|=0.0\%</math></center>
 
que efectivamente es aproximadamente una milésima.
 
Si quisiéramos hacer el cálculo exacto deberíamos suponer una velocidad dependiente de la altura (ya que la tensión va aumentando ligeramente a medida que subimos), siendo el tiempo total en recorrer uno de los cables
 
<center><math>\Delta t = \int \mathrm{d}t=\int_0^L\frac{\mathrm{d}z}{v(z)}</math></center>
 
con
 
<center><math>
v(z) = \sqrt{\frac{F_t(z)}{\mu}} = \sqrt{\frac{Mg + \mu g z}{\mu}}
</math></center>


la tensión aumenta linealmente con la altura, a medida que más masa va quedando debajo. En nuestro problema, en el que tenemos dos cables en serie, además hay que separar el tiempo en dos integrales, una por cable. Entonces el tiempo que tarda el impulso en recorrer el cable es
La longitud de onda de la onda sonora es
<center>
<center>
<math>
<math>
\Delta t = \int\limits_0^L \dfrac{\mathrm{d}z}{v(z)}
\lambda = \dfrac{c}{f} = 5.65\,\mathrm{m}
=
\int\limits_0^L \sqrt{\dfrac{\mu}{Mg+\mu gz}}\,\mathrm{d}z
=
2\sqrt{\dfrac{M}{g\mu}}\left(\sqrt{1+\dfrac{\mu L}{M}} - 1\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Revisión del 17:26 11 dic 2023

Enunciado

Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50.0 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia f = 262 Hz que forma un ángulo de 30.0º con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y que la densidad del agua es 1.06×10³ kg/m³, calcule

  1. La velocidad del sonido en el agua
  2. El módulo de compresibilidad del agua
  3. La longitud de onda de la señal emitida.

Solución

Archivo:Onda sonora en agua.png

Si H es la profundidad del lecho marino, la distancia entre el barco y el pecio es

El intervalo de tiempo que nos dan es el tiempo que la onda tarda en ir y volver desde el barco hasta el pecio. Por tanto la velocidad de la onda sonora en el agua es

La velocidad del sonido en el agua es

donde B es el módulo de compresibilidad y es la densidad volumétrica del agua. Entonces

El módulo de compresibilidad mide la resistencia de un medio a cambiar su volumen cuando es comprimido. Por definición

Un medio con un valor grande de B varía muy poco su volumen cuando es sometido a un incremento de presión . Con el dato obtenido para B, para variar en un 1% el volumen de una masa de agua, la sobrepresión necesaria es

Es decir, el agua es esencialmente incompresible.

La longitud de onda de la onda sonora es

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