Partícula con cuerda deslizando sobre punto de una circunferencia (Nov. 2017 G.I.C.)
Revisión del 13:07 27 sep 2023 de Pedro(discusión | contribs.)(Página creada con «= Enunciado = right Una partícula de masa <math>m</math> cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto <math>A</math>. A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio <math>R</math>. La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley <math>l(t) = 2R(1-\Omega t)</math>. En el instante inicial el punto <math>A</math> se encontraba sobre el eje <math>X<…»)
Una partícula de masa cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre
el punto . A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio . La longitud de la
cuerda cambia en el tiempo según la ley . En el instante
inicial el punto se encontraba sobre el eje , a la derecha del origen.
Escribe el vector de posición de la partícula
El punto realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple . Encuentra la velocidad de la partícula .
Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante .
Solución
Vector de posición
El vector de posición de la partícula puede escribirse como
Tenemos
Por otra parte
Entonces
Velocidad de la partícula
El punto realiza un movimiento circular uniforme. Entonces
Tenemos
Y derivando otra vez
El módulo de la aceleración es
Entonces
Hemos usado que , como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto estaba sobre el eje a la derecha del origen.
Entonces, para el punto tenemos
Vector normal y curvatura en el instante inicial
En tenemos . La velocidad y aceleración del punto en ese instante son
Como son perpendiculares, la aceleración sólo tiene componente normal. Es decir