No Boletín - Trabajo y fuerza en un movimiento armónico simple (Ex.Ene/13)

Enunciado

Sea una partícula, de masa $100\,\mathrm {g} \,$, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es:

${\vec {r}}(t)=B\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B=5\,\mathrm {m} \,,\,\Omega =2\,\mathrm {rad/s} )$

1. ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde ${\vec {r}}={\vec {0}}\,$ hasta ${\vec {r}}=\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,$?
2. ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición ${\vec {r}}=-\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,$?

Solución

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

${\vec {v}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}=\Omega B\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-\Omega ^{2}B\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\jmath }}=-\Omega ^{2}{\vec {r}}$

Y, conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula es:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=-m\Omega ^{2}{\vec {r}}$

siendo $m\,$ la masa de la partícula.

Para determinar el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición ${\vec {r}}=-\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,$, basta sustituir en la fórmula anterior ese valor concreto de ${\vec {r}}\,$, así como los valores numéricos $m=0.1\,\mathrm {kg} \,$, $B=5\,\mathrm {m} \,$ y $\Omega =2\,\mathrm {rad/s} \,$:

${\vec {r}}=-\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {F}}=-m\Omega ^{2}\left(-{\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\right)=m\Omega ^{2}{\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}\,\,\mathrm {N}$

Para calcular el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde ${\vec {r}}={\vec {0}}\,$ hasta ${\vec {r}}=\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}\,$, determinamos primero la celeridad de la partícula al inicio ($v_{i}\,$) y al final ($v_{f}\,$) de dicho trayecto:

${\begin{array}{lllllllll}{\vec {r}}(t_{i})=B\,\mathrm {sen} (\Omega t_{i})\,{\vec {\jmath }}={\vec {0}}&\longrightarrow &t_{i}=0&\longrightarrow &{\vec {v}}(t_{i})=\Omega B\,\mathrm {cos} (\Omega t_{i})\,{\vec {\jmath }}=\Omega B\,{\vec {\jmath }}&\longrightarrow &v(t_{i})=\Omega B\\\\{\vec {r}}(t_{f})=B\,\mathrm {sen} (\Omega t_{f})\,{\vec {\jmath }}=\displaystyle {\frac {B}{2}}\,{\vec {\jmath }}&\longrightarrow &t_{f}=\displaystyle {\frac {\pi }{6\Omega }}&\longrightarrow &{\vec {v}}(t_{f})=\Omega B\,\mathrm {cos} (\Omega t_{f})\,{\vec {\jmath }}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\Omega B\,{\vec {\jmath }}&\longrightarrow &v(t_{f})=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\Omega B\end{array}}$

y, finalmente, aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (trabajo igual a variación de energía cinética):

$W_{t_{i}}^{t_{f}}=K(t_{f})-K(t_{i})={\frac {1}{2}}m\left[v^{2}(t_{f})-v^{2}(t_{i})\right]={\frac {1}{2}}\,m\,\Omega ^{2}B^{2}\left[\displaystyle {\frac {3}{4}}-1\right]=-{\frac {1}{8}}\,m\,\Omega ^{2}B^{2}=-1.25\,\mathrm {J}$