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No Boletín - Trabajo y fuerza en un movimiento armónico simple (Ex.Ene/13)

De Laplace

1 Enunciado

Sea una partícula, de masa 100\,\mathrm{g}\,, que describe un movimiento armónico simple cuya ecuación horaria es:


\vec{r}(t)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(B = 5\,\mathrm{m}\,,\,\Omega = 2 \,\mathrm{rad/s})
  1. ¿Cuánto vale el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde \vec{r}=\vec{0}\, hasta \vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,?
  2. ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición \vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,?

2 Solución

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:


\vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\vec{\jmath}
\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=-\Omega^2 B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\jmath}=-\Omega^2\vec{r}

Y, conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula es:


\vec{F}=m\vec{a}=-m\Omega^2\vec{r}

siendo m\, la masa de la partícula.

Para determinar el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula cuando ésta se halla en la posición \vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,, basta sustituir en la fórmula anterior ese valor concreto de \vec{r}\,, así como los valores numéricos m=0.1\,\mathrm{kg}\,, B=5\,\mathrm{m}\, y \Omega=2 \,\mathrm{rad/s}\,:


\vec{r}=-\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{F}=-m\Omega^2\left(-\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\right)=m\Omega^2\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{N}

Para calcular el trabajo realizado sobre la partícula en el trayecto desde \vec{r}=\vec{0}\, hasta \vec{r}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath}\,, determinamos primero la celeridad de la partícula al inicio (v_i\,) y al final (v_f\,) de dicho trayecto:


\begin{array}{lllllllll} \vec{r}(t_i)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\vec{0} & \longrightarrow & t_i=0 & \longrightarrow & \vec{v}(t_i)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_i)\,\vec{\jmath}=\Omega B\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & v(t_i)=\Omega B 
\\ \\ \vec{r}(t_f)=B\,\mathrm{sen}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{B}{2}\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & t_f=\displaystyle\frac{\pi}{6\Omega} & \longrightarrow & \vec{v}(t_f)=\Omega B\,\mathrm{cos}(\Omega t_f)\,\vec{\jmath}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B\,\vec{\jmath} & \longrightarrow & v(t_f)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega B \end{array}

y, finalmente, aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (trabajo igual a variación de energía cinética):


W_{t_i}^{t_f}=K(t_f)-K(t_i)=\frac{1}{2}m\left[v^2(t_f)-v^2(t_i)\right]=\frac{1}{2}\,m\,\Omega^2B^2\left[\displaystyle\frac{3}{4}-1\right]=-\frac{1}{8}\,m\,\Omega^2B^2=-1.25\,\mathrm{J}

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