No Boletín - Rectilíneo con aceleración exponencialmente decreciente (Ex.Oct/15)

Enunciado

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial ($t=0\,$), se mueve con una aceleración exponencialmente decreciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}(t)=g\,e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\,{\vec {\imath }}$

donde $\,g\,$ y $\,\lambda \,$ son constantes positivas conocidas.

¿Hacia qué valor límite tiende la velocidad de dicha partícula cuando se deja pasar mucho tiempo ($t\rightarrow \infty \!\,$) ?

Solución

Conforme a la definición de aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=g\,e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\,(\mathrm {para} \,\,t>0)$

Conocemos también la velocidad inicial (la partícula se hallaba en reposo en $t=0\,$):

${\vec {v}}(0)={\vec {0}}$

Determinamos la velocidad de la partícula para $t>0\,$ integrando su aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=g\,e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} {\vec {v}}=g\,e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\mathrm {d} t\,\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{\,{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}=g\,\left(\,\displaystyle \int _{0}^{\,t}\!e^{\displaystyle -\lambda \,t}\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}(t)={\frac {g}{\lambda }}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda \,t}\right)\,{\vec {\imath }}$

Por tanto, el valor límite hacia el que tiende la velocidad de la partícula cuando se deja pasar mucho tiempo ($t\rightarrow \infty \!\,$) es:

${\vec {v}}\,(\infty )=\lim _{t\rightarrow \infty }{\vec {v}}(t)=\lim _{t\rightarrow \infty }\left[\,{\frac {g}{\lambda }}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda \,t}\right)\,{\vec {\imath }}\,\,\right]=\displaystyle {\frac {g}{\lambda }}\,\,{\vec {\imath }}$