No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija $OXY\,$ (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante ${\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }(t)=v_{0}{\vec {\imath }}\,$ y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje $OX\,$; y un disco (sólido "2"), de centro $C\,$ y radio $R\,$, que rota con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{21}(t)=-\omega \,{\vec {k}}\,$, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje $OX\,$ (punto $A\,$) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto $B\,$).

1. ¿Cuánto vale la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{A}$?
2. ¿Y la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{20}^{B}$?
3. ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación $I_{20}$?

Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}

Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante ${\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }(t)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ y el disco se mantiene siempre en contacto puntual con ella y con el eje $OX\,$, es evidente que el centro $C\,$ del disco realizará un movimiento rectilíneo y uniforme con esa misma velocidad:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}(t)=v_{0}\,{\vec {\imath }}$

Como también conocemos la velocidad angular del disco ${\vec {\omega }}_{21}(t)=-\omega \,{\vec {k}}\,$, podemos determinar la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,+(-\,\omega \,{\vec {k}}\,)\times (-R\,{\vec {\jmath }}\,)=(v_{0}-\omega R\,)\,{\vec {\imath }}$

El hecho de que ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ sea no nula (si $v_{0}\neq \omega R\,$) significa que existe deslizamiento entre el disco y el eje $OX\,$.

Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}

Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,C}+\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CB}}=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,+(-\,\omega \,{\vec {k}}\,)\times (-R\,{\vec {\imath }}\,\,)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,+\,\omega R\,{\vec {\jmath }}$

Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $B\,$, determinamos la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}\,+\,{\vec {v}}_{01}^{\,B}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,B}-\,{\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,B}-\,{\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }=(v_{0}\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\,\omega R\,{\vec {\jmath }}\,)\,-\,v_{0}\,{\vec {\imath }}=\omega R\,{\vec {\jmath }}$

El hecho de que ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada.

Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}

Para determinar la posición del centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$, podemos aplicar el procedimiento analítico.

La ley de composición de velocidades angulares nos permite calcular la velocidad angular del movimiento {20}:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-\,\underbrace {{\vec {\omega }}_{01}} _{\displaystyle {\vec {0}}}=-\omega \,{\vec {k}}$

donde se ha tenido en cuenta que el movimiento {01} es una traslación y, por tanto, la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ es nula.

Entonces, la posición del centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ respecto al punto $B\,$ se determina mediante la fórmula deducida en la teoría:

${\overrightarrow {BI_{20}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{|\,{\vec {\omega }}_{20}\,|^{2}}}={\frac {(-\,\omega \,{\vec {k}}\,)\times \omega R\,{\vec {\jmath }}}{\omega ^{2}}}=R\,{\vec {\imath }}$

Pero a una distancia $R\,$ a la derecha del punto $B\,$ se encuentra el centro $C\,$ del disco. Por tanto, concluimos que:

$I_{20}\equiv C$

A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto $C\,$ en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{\,C}\,+\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,C}-\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,C}-\,{\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,-\,v_{0}\,{\vec {\imath }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,I_{20}\equiv C$

En realidad, el centro $C\,$ del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}.