Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)»
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El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0 | El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,</math> y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje <math>OX\,</math>; y un disco (sólido "2"), de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje <math>OX\,</math> (punto <math>A\,</math>) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto <math>B\,</math>). | ||
# ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21} | # ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>? | ||
# ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20} | # ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20}</math>? | ||
# ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20} | # ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>? | ||
==Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}== | ==Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}== | ||
Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0 | Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\vec{\imath}\,</math> y el disco se mantiene siempre en contacto puntual con ella y con el eje <math>OX\,</math>, es evidente que el centro <math>C\,</math> del disco realizará un movimiento rectilíneo y uniforme con esa misma velocidad: | ||
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\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0 | \vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\vec{\imath} | ||
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Como también conocemos la velocidad angular del disco <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, podemos determinar la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math> aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente: | Como también conocemos la velocidad angular del disco <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, podemos determinar la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math> aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente: | ||
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\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+ | \vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CA}=v_0\vec{\imath}\,+(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times(-R\,\vec{\jmath}\,)=(v_0-\omega R\,)\,\vec{\imath} | ||
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El hecho de que <math>\vec{v}^{\, A}_{21} | El hecho de que <math>\vec{v}^{\, A}_{21}</math> sea no nula (si <math>v_0\neq\omega R\,</math>) significa que existe deslizamiento entre el disco y el eje <math>OX\,</math>. | ||
==Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}== | ==Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}== | ||
Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>: | Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>: | ||
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\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=v_0 | \vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=v_0\vec{\imath}\,+(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times(-R\,\vec{\imath}\,\,)=v_0\vec{\imath}\,+\,\omega R\,\vec{\jmath} | ||
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Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>, determinamos la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math>: | Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>, determinamos la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math>: | ||
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\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, B}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=(v_0 | \vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, B}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=(v_0\vec{\imath}\,\,+\,\,\omega R\,\vec{\jmath}\,)\,-\,v_0\vec{\imath}=\omega R\,\vec{\jmath} | ||
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El hecho de que <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada. | El hecho de que <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada. | ||
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A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto <math>C\,</math> en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades: | A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto <math>C\,</math> en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades: | ||
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\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0 | \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\vec{\imath}\,-\,v_0\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,I_{20}\equiv C | ||
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En realidad, el centro <math>C\,</math> del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}. | En realidad, el centro <math>C\,</math> del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}. | ||
[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]] | [[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]] |
Revisión actual - 21:57 16 ene 2024
Enunciado
El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje ; y un disco (sólido "2"), de centro y radio , que rota con velocidad angular constante , y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje (punto ) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto ).
- ¿Cuánto vale la velocidad instantánea ?
- ¿Y la velocidad instantánea ?
- ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación ?
Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}
Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante y el disco se mantiene siempre en contacto puntual con ella y con el eje , es evidente que el centro del disco realizará un movimiento rectilíneo y uniforme con esa misma velocidad:
Como también conocemos la velocidad angular del disco , podemos determinar la velocidad instantánea aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente:
El hecho de que sea no nula (si ) significa que existe deslizamiento entre el disco y el eje .
Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}
Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea :
Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto , determinamos la velocidad instantánea :
El hecho de que no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada.
Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}
Para determinar la posición del centro instantáneo de rotación , podemos aplicar el procedimiento analítico.
La ley de composición de velocidades angulares nos permite calcular la velocidad angular del movimiento {20}:
donde se ha tenido en cuenta que el movimiento {01} es una traslación y, por tanto, la velocidad angular es nula.
Entonces, la posición del centro instantáneo de rotación respecto al punto se determina mediante la fórmula deducida en la teoría:
Pero a una distancia a la derecha del punto se encuentra el centro del disco. Por tanto, concluimos que:
A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades:
En realidad, el centro del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}.