No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)

Enunciado

En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores ${\overrightarrow {OA}}$ y ${\overrightarrow {AB}}$ son ortogonales?

Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

$A(1,2,1)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OA}}={\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B(\mathrm {p} ,1,2)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OB}}=\mathrm {p} \,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}$

Y, por otra parte:

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=(\mathrm {p} -1)\,{\vec {\imath }}-\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {AB}}\,$, deducimos el valor de p:

${\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,[{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}]\cdot [(\mathrm {p} -1)\,{\vec {\imath }}-\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,(\mathrm {p} -1)-2+1=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {p} =2\,\mathrm {m}$