No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)

Enunciado

En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} son ortogonales?

Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(1,2,1)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(\mathrm{p},1,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=\mathrm{p}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k} }

Y, por otra parte:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(\mathrm{p}-1)\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}+\vec{k} }

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} , deducimos el valor de p:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,[\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+\vec{k}]\cdot[(\mathrm{p}-1)\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}+\vec{k}]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\mathrm{p}-1)-2+1=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2\,\mathrm{m} }