Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares III (Ex.Nov/16)»
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\vec{v}\,\times\,\vec{a}=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right|=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\,\vec{v}\times\vec{a}\,|}=\vec{k}\,\,\,;</math></center> | \vec{v}\,\times\,\vec{a}=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right|=2\,\Omega^{\, 3}\rho^2\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\,\vec{v}\times\vec{a}\,|}=\vec{k}\,\,\,;</math></center> | ||
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\vec{N}=\vec{B}\,\times\,\vec{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}\,+\,\vec{u}_{\theta}) | \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{N}=\vec{B}\,\times\,\vec{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ccc}\vec{u}_{\rho} & \vec{u}_{\theta} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{u}_{\rho}\,+\,\vec{u}_{\theta}) | ||
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Revisión actual - 12:54 10 ene 2024
Enunciado
El movimiento de cierta partícula en el plano viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
- Al expresar en la base polar la velocidad () y la aceleración () de la citada partícula, una de las cuatro componentes resulta ser nula en todo instante de tiempo. ¿Cuál de ellas?
- Determine el vector normal del triedro intrínseco de la trayectoria de la partícula.
Velocidad y aceleración en la base polar
La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:
Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:
; ; ;
y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (módulo de la velocidad) y su aceleración:
Observamos, pues, que la componente nula en todo instante de tiempo es la aceleración radial .
Vector normal del triedro intrínseco
El vector tangente se obtiene por normalización del vector velocidad:
La componente tangencial de la aceleración podemos obtenerla derivando la celeridad respecto al tiempo:
Ahora determinamos el vector aceleración normal (restándole el vector aceleración tangencial al vector aceleración):
Finalmente, el vector normal se puede obtener por normalización del vector aceleración normal:
Pero éste no es el único procedimiento posible para determinar el vector normal. Otra opción más directa consiste en obtenerlo por normalización de la derivada del vector tangente respecto a cualquier parámetro (por ejemplo, respecto a ):
donde se ha utilizado que, según se vio en la teoría, las derivadas respecto a de los vectores de la base polar valen:
Un tercer procedimiento para calcular el vector normal es obtenerlo como producto vectorial del vector binormal y el vector tangente. Para lo cual, necesitamos determinar previamente el vector binormal (normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración de la partícula):
Nota: Obsérvese que la base (denominada base cilíndrica) es ortonormal dextrógira, y por ese motivo los productos vectoriales de vectores expresados en la misma se realizan de forma análoga a como se realizan los productos vectoriales de vectores expresados en base cartesiana.