Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)»
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Revisión actual - 19:01 10 ene 2024
Enunciado
El movimiento de una partícula en un plano (para ) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
donde y son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente ?
Solución
Por ser la fuerza que actúa sobre la partícula una fuerza central con centro en el origen de coordenadas , el momento de dicha fuerza respecto al punto es nulo. Y entonces sabemos que se conservará constante a lo largo del tiempo el momento cinético de la partícula respecto al punto (teorema de conservación del momento cinético de una partícula).
Vamos, pues, a determinar primero dicho momento cinético en función de los datos del ejercicio (entre ellos, el exponente ), y después deduciremos el valor del exponente exigiendo que sea independiente del tiempo.
Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula
en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas , se obtiene:
Y sustituyendo en esta expresión general las funciones concretas y que se deducen de las ecuaciones horarias dadas en el enunciado, se llega a:
Finalmente, la exigencia de que sea independiente del tiempo nos lleva a forzar la nulidad del exponente con que aparece el tiempo en la expresión obtenida, y de ahí obtenemos el valor de :