No Boletín - La coplanariedad de tres vectores (Ex.Oct/13)

Enunciado

En un triedro cartesiano $OXYZ\,$ se consideran los puntos $A(-2,1,1)\,$, $B(0,3,1)\,$ y $C(-1,q,2)\,$. ¿Cuál es el valor de $q\,$ si los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {AB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$ son coplanarios?

Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

$A(-2,1,1)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OA}}=-2\,{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B(0,3,1)\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OB}}=3\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C(-1,\mathrm {q} ,2)\,\,\,\longrightarrow$

$\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OC}}=-\,{\vec {\imath }}\,+\,\mathrm {q} \,{\vec {\jmath }}\,+\,2\,{\vec {k}}$

Y, por otra parte:

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OB}}=-\,{\vec {\imath }}+(\mathrm {q} -3)\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores ${\overrightarrow {OA}}\,$, ${\overrightarrow {AB}}\,$ y ${\overrightarrow {BC}}\,$, deducimos el valor de q:

${\overrightarrow {OA}}\,\cdot \,({\overrightarrow {AB}}\,\times {\overrightarrow {BC}})=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{ccc}-2&1&1\\2&2&0\\-1&q-3&1\end{array}}\right|=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,2\,\mathrm {q} -10=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {q} =5$