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No Boletín - La coplanariedad de tres vectores (Ex.Oct/13)

De Laplace

1 Enunciado

En un triedro cartesiano OXYZ\, se consideran los puntos A(-2,1,1)\,, B(0,3,1)\, y C(-1,q,2)\,. ¿Cuál es el valor de q\, si los vectores \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{AB}\, y \overrightarrow{BC}\, son coplanarios?

2 Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:


A(-2,1,1)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=-2\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
B(0,3,1)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=3\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
C(-1,\mathrm{q},2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{q}\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}

Y, por otra parte:


\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\,\vec{\imath}+(\mathrm{q}-3)\,\vec{\jmath}+\vec{k}

Exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{AB}\, y \overrightarrow{BC}\,, deducimos el valor de q:


\overrightarrow{OA}\,\cdot\,(\overrightarrow{AB}\,\times\overrightarrow{BC})=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & q-3 &1 \end{array}\right|=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2\,\mathrm{q}-10=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{q}=5

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