No Boletín - Dos partículas con distancia mutua constante (Ex.Jun/13)

Enunciado

Las partículas $A\,$ y $B\,$ se mueven en el plano $OXY\,$ de tal modo que su distancia mutua permanece constante a lo largo del tiempo:

$|{\overrightarrow {BA}}(t)|\equiv |{\vec {r}}_{A}(t)-{\vec {r}}_{B}(t)|=\mathrm {cte}$

Además, $B\,$ persigue a $A\,$, es decir, el vector velocidad ${\vec {v}}_{B}$ tiene siempre la misma dirección que la recta imaginaria que pasa por $B\,$ y $A\,$. En cierto instante, las posiciones de ambas partículas son $A(4,0)\,\mathrm {m} \,$ y $B(0,3)\,\mathrm {m} \,$, y la velocidad de $A\,$ es ${\vec {v}}_{A}=20\,{\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m/s} \,$ (ver figura).

¿Cuánto vale la celeridad de $B\,$ en dicho instante?

Solución

Dos partículas obligadas a mantener su distancia mutua constante a lo largo del tiempo constituyen el sólido rígido más simple de todos los posibles. Y, por tanto, sus velocidades habrán de satisfacer permanentemente la condición de equiproyectividad:

${\vec {v}}_{B}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}(t)={\vec {v}}_{A}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}(t)$

Particularizando esta condición para el instante considerado en el enunciado, vamos a ser capaces de responder la pregunta planteada.

El vector ${\overrightarrow {BA}}\,$ se calcula restándole las coordenadas del punto $B\,$ a las coordenadas del punto $A\,$:

${\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}=(4\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {\jmath }}\,)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,|{\overrightarrow {BA}}|=5\,\mathrm {m}$

Por otra parte, sabemos que la velocidad ${\vec {v}}_{B}\,$ tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector ${\overrightarrow {BA}}\,$ (porque $B\,$ persigue a $A\,$), lo cual nos permite identificar el producto escalar de estos dos vectores con el producto de sus respectivos módulos.

Teniendo esto en cuenta y exigiendo la equiproyectividad de velocidades en el instante de interés, comprobamos que se puede obtener fácilmente la celeridad del punto $B\,$ en dicho instante:

${\vec {v}}_{B}\cdot {\overrightarrow {BA}}={\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {BA}}\,\Rightarrow \,|{\vec {v}}_{B}|\,|{\overrightarrow {BA}}|={\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {BA}}\,\Rightarrow \,|{\vec {v}}_{B}|={\frac {{\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {BA}}}{|{\overrightarrow {BA}}|}}={\frac {20\,{\vec {\imath }}\cdot (4\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {\jmath }}\,)}{5}}\,\mathrm {m/s} =16\,\,\mathrm {m/s}$