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| Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: | | Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: |
| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}_B=C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}_B(0)}^{\vec{v}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_B=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} \\ \\ | | \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}_B=C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}_B(0)}^{\vec{v}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_B=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} \\ \\ |
| \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_B=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_B(0)}^{\vec{r}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_B=\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}\end{array} | | \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_B=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_B(0)}^{\vec{r}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_B=\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}\end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
| La cinemática del móvil A es más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniforme: | | La cinemática del móvil A es más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniforme: |
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| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lllllll} | | \begin{array}{lllllll} |
| \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-v_A\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_A(0)}^{\vec{r}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_A(t)=\vec{r}_A(0)-v_A t\,\,\vec{\imath}\end{array} | | \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-v_A\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_A(0)}^{\vec{r}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_A=-v_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\rightarrow\,\,\, & \vec{r}_A(t)=\vec{r}_A(0)-v_A t\,\,\vec{\imath}\end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
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Enunciado
Un móvil A recorre el eje OX con una velocidad constante , hallándose en el punto en el instante inicial . En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto , comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:
donde es una constante de valor igual a .
- ¿Cuánto tiempo transcurre hasta el instante en el que la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A?
- ¿Qué distancia hay entre los móviles A y B en el instante al que se refiere la pregunta anterior?
Posiciones y velocidades en función del tiempo
Comenzaremos estudiando la cinemática del móvil B.
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico :
La cinemática del móvil A es más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniforme:
donde hemos llamado a la celeridad constante del móvil A (cuyo valor es ).
Conocemos también la condición inicial de posición:
La posición del móvil A en función del tiempo se obtiene integrando su velocidad entre el instante inicial y el instante genérico :
Instante en el que se igualan las celeridades de los dos móviles
Conocidas las velocidades de A y B en función del tiempo:
es fácil determinar en qué instante () la celeridad de B alcanza el mismo valor que la celeridad de A:
y sustituyendo los datos numéricos:
Distancia entre ambos móviles en dicho instante
Conocidas las posiciones de A y B en función del tiempo:
es fácil determinar la distancia existente entre ambos móviles en el instante :
y sustituyendo los datos numéricos: