No Boletín - Diagonales de un rombo

Enunciado

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

Solución

Sean ABCD los vértices del rombo. Se verifica que, por ser un paralelogramo

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}\,;$        ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}$

y por sus lados de la misma longitud

$\left|{\overrightarrow {AB}}\right|=\left|{\overrightarrow {BC}}\right|$

Las diagonales del rombo vienen dadas por los vectores

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}$  y  ${\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {BC}}-{\overrightarrow {AB}}$

Multiplicando escalarmente estos dos vectores

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}=\left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {BC}}-{\overrightarrow {AB}}\right)$

Desarrollando la suma por diferencia

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}-{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=\left|{\overrightarrow {BC}}\right|^{2}-\left|{\overrightarrow {AB}}\right|^{2}$

y, por la igualdad entre las longitudes de los lados

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}=\left|{\overrightarrow {BC}}\right|^{2}-\left|{\overrightarrow {AB}}\right|^{2}=0$

Por tanto, las diagonales son ortogonales.