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No Boletín - Diagonales de un rombo

De Laplace

1 Enunciado

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

2 Solución

Sean ABCD los vértices del rombo. Se verifica que, por ser un paralelogramo

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}        \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

y por sus lados de la misma longitud

\left|\overrightarrow{AB}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right|

Las diagonales del rombo vienen dadas por los vectores

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}    y    \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}

Multiplicando escalarmente estos dos vectores

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\right)

Desarrollando la suma por diferencia

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{BC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2

y, por la igualdad entre las longitudes de los lados

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\left|\overrightarrow{BC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=0

Por tanto, las diagonales son ortogonales.

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