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| \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)= | | \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)= |
| </math></center> | | </math></center> |
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| =\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} | | =\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} |
Enunciado
Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo respecto a un triedro de referencia , estando
definido su campo de velocidades mediante la siguiente reducción cinemática en el origen de coordenadas :
- Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).
- ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?
Velocidad de deslizamiento
La velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
Punto perteneciente al EIRMD. Primer método: cálculo de la velocidad del punto
Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad del punto en cada una de las opciones:
Si el punto pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular . Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (c), la cual es por tanto la respuesta correcta:
Punto perteneciente al EIRMD. Segundo método: determinación del EIRMD
Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática , es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico del EIRMD:
Por tanto, las coordenadas de un punto genérico del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son:
Comparando esta terna paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto es el de la opción (c). En efecto: es el punto del EIRMD correspondiente a .