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No Boletín - Cuestión sobre EIRMD III (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo respecto a un triedro de referencia OXYZ\,, estando definido su campo de velocidades mediante la siguiente reducción cinemática en el origen de coordenadas \,O\,:


\vec{\omega}=(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,;\,\,\,\,\,\,
\vec{v}_O=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
  1. Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).
  2. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?

\mathrm{(a)}\,\,\,\,P\mathrm{(1,2,0)}\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{(b)}\,\,\,\,P\mathrm{(0,0,0)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{(c)}\,\,\,\,P\mathrm{(-1,1,0)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{(d)}\,\,\,\,P\mathrm{(2,1,-2)}\,\mbox{m}

2 Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento v_d\, (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:


v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,|}=\frac{18}{3}=6\,\,\mathrm{m/s}

3 Punto perteneciente al EIRMD. Primer método: cálculo de la velocidad del punto P\,

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad \,\vec{v}_P\, del punto \,P\, en cada una de las opciones:


\begin{array}{lll}
\mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right|=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=\vec{0}\,\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,-\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\
\end{array}

Si el punto \,P\, pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad \vec{v}_P\, de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular \vec{\omega}\,. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (c), la cual es por tanto la respuesta correcta:


\begin{array}{lllll}
\mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\
\mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\
\mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\in \mathrm{EIRMD} \\ \\
\mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD}
\end{array}

4 Punto perteneciente al EIRMD. Segundo método: determinación del EIRMD

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática \{\vec{\omega},\vec{v}_O\}\,, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico I\, del EIRMD:


\overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)=\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m}

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico I\, del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son:


I\left(-\,\frac{7}{9}+2\lambda\,,\frac{10}{9}+\lambda\,,-\,\frac{2}{9}-2\lambda\right)\,\mathrm{m}

Comparando esta terna \,\lambda-paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos \,P\, propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto P\in\mathrm{EIRMD}\, es el de la opción (c). En efecto: \,\,\,P(-1,1,0)\,\mathrm{m}\, es el punto del EIRMD correspondiente a \lambda=-1/\,9\,.

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