No Boletín - Cuestión sobre EIRMD III (Ex.Ene/16)

Enunciado

Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo respecto a un triedro de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ\,} , estando definido su campo de velocidades mediante la siguiente reducción cinemática en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,;\,\,\,\,\,\, \vec{v}_O=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} }

1. Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).
2. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(a)}\,\,\,\,P\mathrm{(1,2,0)}\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(b)}\,\,\,\,P\mathrm{(0,0,0)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(c)}\,\,\,\,P\mathrm{(-1,1,0)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(d)}\,\,\,\,P\mathrm{(2,1,-2)}\,\mbox{m} }

Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,|}=\frac{18}{3}=6\,\,\mathrm{m/s} }

Punto perteneciente al EIRMD. Primer método: cálculo de la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,}

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad $\,{\vec {v}}_{P}\,$ del punto $\,P\,$ en cada una de las opciones:

${\begin{array}{l}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} \,\,\,\rightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\1&2&0\end{array}}\right|=(6\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}={\vec {0}}\,\,\mathrm {m} \,\,\,\rightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\0&0&0\end{array}}\right|=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,-\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} \,\,\,\rightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\-1&1&0\end{array}}\right|=(4\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,\,\,\rightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\2&1&-2\end{array}}\right|=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\end{array}}$

Si el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_P\,} de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} . Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (c), la cual es por tanto la respuesta correcta:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} \mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ \mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ \mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ \mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \end{array} }

Punto perteneciente al EIRMD. Segundo método: determinación del EIRMD

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega},\vec{v}_O\}\,} , es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} del EIRMD:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)= }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} }

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\left(-\,\frac{7}{9}+2\lambda\,,\frac{10}{9}+\lambda\,,-\,\frac{2}{9}-2\lambda\right)\,\mathrm{m} }

Comparando esta terna Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\lambda-} paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,P\,} propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\in\mathrm{EIRMD}\,} es el de la opción (c). En efecto: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,P(-1,1,0)\,\mathrm{m}\,} es el punto del EIRMD correspondiente a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=-1/\,9\,} .