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| Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad <math>\,\vec{v}_P\,</math> del punto <math>\,P\,</math> en cada una de las opciones: | | Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad <math>\,\vec{v}_P\,</math> del punto <math>\,P\,</math> en cada una de las opciones: |
| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lll} | | \begin{array}{l} |
| \mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right|=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ | | \mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m} \,\,\,\rightarrow\,\,\, \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right|=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ |
| \mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=\vec{0}\,\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ | | \mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=\vec{0}\,\,\mathrm{m}\,\,\,\rightarrow\,\,\, \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ |
| \mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,-\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ | | \mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,-\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ |
| \mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ | | \mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} \,\,\,\rightarrow\,\,\, \vec{v}_P=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ |
| \end{array} | | \end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lllll} | | \begin{array}{lllll} |
| \mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ | | \mathrm{(a)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(6\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ |
| \mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ | | \mathrm{(b)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ |
| \mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ | | \mathrm{(c)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(4\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|=\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\in \mathrm{EIRMD} \\ \\ |
| \mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} | | \mathrm{(d)}\,\,\,\,\,\vec{v}_P=(\,2\,\vec{\imath}-7\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} & \rightarrow & \vec{v}_P\times\vec{\omega}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -7 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right|\neq\vec{0} & \rightarrow & \vec{v}_P\not\,\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,P\not\in \mathrm{EIRMD} |
| \end{array} | | \end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega},\vec{v}_O\}\,</math>, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico <math>I\,</math> del EIRMD: | | Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega},\vec{v}_O\}\,</math>, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico <math>I\,</math> del EIRMD: |
| <center><math> | | <center><math> |
| \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)=\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} | | \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -7 \end{array}\right|\,+\,\lambda\,(2\,\vec{\imath}\,\,+\,\vec{\jmath}\,-\,2\,\vec{k}\,)= |
| | </math></center> |
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| | <center><math> |
| | =\left[\,\left(-\frac{7}{9}\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(\frac{10}{9}\,+\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(-\frac{2}{9}\,-\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m} |
| </math></center> | | </math></center> |
| Por tanto, las coordenadas de un punto genérico <math>I\,</math> del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son: | | Por tanto, las coordenadas de un punto genérico <math>I\,</math> del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son: |
Enunciado
Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo respecto a un triedro de referencia , estando
definido su campo de velocidades mediante la siguiente reducción cinemática en el origen de coordenadas :
- Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).
- ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?
Velocidad de deslizamiento
La velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
Punto perteneciente al EIRMD. Primer método: cálculo de la velocidad del punto
Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad del punto en cada una de las opciones:
Si el punto pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular . Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (c), la cual es por tanto la respuesta correcta:
Punto perteneciente al EIRMD. Segundo método: determinación del EIRMD
Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática , es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico del EIRMD:
Por tanto, las coordenadas de un punto genérico del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son:
Comparando esta terna paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto es el de la opción (c). En efecto: es el punto del EIRMD correspondiente a .