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| 3) <math>\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\,\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1</math> | | 3) <math>\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\,\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1</math> |
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| 4) <math>\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\alpha_0 t\,\,;\qquad\qquad\,\ddot{\theta}=\alpha_0\,\,\,\,\,\qquad\qquad\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=\alpha_0 t^2</math> | | 4) <math>\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\alpha_0 t\,\,;\qquad\qquad\,\ddot{\theta}=\alpha_0\,\,\,\,\,\qquad\qquad\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=\alpha_0 t^2</math> |
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| Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3. | | Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3. |
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| [[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]] | | [[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]] |
Enunciado
El ángulo que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:
Sea una partícula que recorre la circunferencia de radio :
¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: , y son constantes positivas conocidas.)
1)
2)
3)
4)
Solución
Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación -paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular y la aceleración angular de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria . También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:
Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:
Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:
1)
2)
3)
4)
Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.