Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas»
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Sustituyendo los valores tenemos | Sustituyendo los valores tenemos | ||
<center><math>\overrightarrow{AB}=(9\vec{\imath}-12\vec{\jmath})\,\mathrm{m}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{CD}=5\vec{k}\,\mathrm{m}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}=(7\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\vec{k})\,\mathrm{m}</math></center> | <center><math>\overrightarrow{AB}=(9\vec{\imath}-12\vec{\jmath})\,\mathrm{m}\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{CD}=5\vec{k}\,\mathrm{m}\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}=(7\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\vec{k})\,\mathrm{m}</math></center> | ||
Hallando los productos vectoriales y mixto | Hallando los productos vectoriales y mixto | ||
<center><math>\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left(-60\vec{\imath}-45\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}^2</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right| = 75\,\mathrm{m}^2</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = -375\,\mathrm{m}^3</math></center> | <center><math>\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left(-60\vec{\imath}-45\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}^2\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right| = 75\,\mathrm{m}^2\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = -375\,\mathrm{m}^3</math></center> | ||
por lo que la distancia entre las rectas es | por lo que la distancia entre las rectas es |
Revisión del 14:47 9 ene 2024
Enunciado
Sean las rectas , que pasa por los puntos y , y que pasa por y (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.
Solución
La distancia entre dos rectas es la correspondiente a la que hay entre los puntos más próximos de una y de otra. Estos dos puntos se encuentran sobre la perpendicular común a ambas rectas.
Se trata entonces de hallar la distancia entre dos puntos y tales que pertenece a , pertenece a y es ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.
Si pertenece a la recta , se cumple
y si pertenece a
El vector de posición relativo entre ambos puntos será
Este vector debe ser ortogonal tanto al vector como al vector y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos
La distancia entre las rectas será el módulo de este vector
Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro . Igualando las dos expresiones para el vector
Multiplicando escalarmente por nos queda simplemente
y por tanto la distancia que buscamos es
Nótese que el resultado final no requiere localizar los puntos y sino que hemos llegado a una expresión para la distancia que solo depende de los cuatro puntos dados.
Sustituyendo los valores tenemos
Hallando los productos vectoriales y mixto
por lo que la distancia entre las rectas es