No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas

Enunciado

Sean las rectas $r_{1}$ , que pasa por los puntos $A(-2,5,1)$ y $B(7,-7,1)$ , y $r_{2}$ que pasa por $C(5,4,-3)$ y $D(5,4,2)$ (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

Solución

La distancia entre dos rectas es la correspondiente a la que hay entre los puntos más próximos de una y de otra. Estos dos puntos se encuentran sobre la perpendicular común a ambas rectas.

Se trata entonces de hallar la distancia entre dos puntos $P$ y $Q$ tales que $P$ pertenece a $r_{1}$ , $Q$ pertenece a $r_{2}$ y ${\overrightarrow {PQ}}$ es ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.

Si $P$ pertenece a la recta $r_{1}$ , se cumple

{\overrightarrow {AP}}=\lambda \,{\overrightarrow {AB}}

y si $Q$ pertenece a $r_{2}$

{\overrightarrow {CQ}}=\mu \,{\overrightarrow {CD}}

El vector de posición relativo entre ambos puntos será

{\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {AQ}}-{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CQ}}-{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AC}}+\mu \,{\overrightarrow {CD}}-\lambda \,{\overrightarrow {AB}}

Este vector debe ser ortogonal tanto al vector ${\overrightarrow {AB}}$ como al vector ${\overrightarrow {CD}}$ y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos

{\overrightarrow {PQ}}=\nu \,({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})

La distancia entre las rectas será el módulo de este vector

d=|{\overrightarrow {PQ}}|=|\nu |\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}\right|

Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro $\nu$ . Igualando las dos expresiones para el vector ${\overrightarrow {PQ}}$

\nu \,({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})={\overrightarrow {AC}}+\mu \,{\overrightarrow {CD}}-\lambda \,{\overrightarrow {AB}}

Multiplicando escalarmente por ${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}$ nos queda simplemente

\nu \,\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}\right|^{2}={\overrightarrow {AC}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})

y por tanto la distancia que buscamos es

d={\frac {\left|{\overrightarrow {AC}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})\right|}{\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}\right|}}

Nótese que el resultado final no requiere localizar los puntos $P$ y $Q$ sino que hemos llegado a una expresión para la distancia que solo depende de los cuatro puntos dados.