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No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas

De Laplace

1 Enunciado

Sean las rectas r1, que pasa por los puntos A( − 2,5,1) y B(7, − 7,1), y r2 que pasa por C(5,4, − 3) y D(5,4,2) (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

2 Solución

La distancia entre dos rectas es la correspondiente a la que hay entre los puntos más próximos de una y de otra. Estos dos puntos se encuentran sobre la perpendicular común a ambas rectas.

Se trata entonces de hallar la distancia entre dos puntos P y Q tales que P pertenece a r1, Q pertenece a r2 y \overrightarrow{PQ} es ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.

Si P pertenece a la recta r1, se cumple

\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}

y si Q pertenece a r2

\overrightarrow{CQ}=\mu\overrightarrow{CD}

El vector de posición relativo entre ambos puntos será

\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CD}-\lambda\overrightarrow{AB}

Este vector debe ser ortogonal tanto al vector \overrightarrow{AB} como al vector \overrightarrow{CD} y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos

\overrightarrow{PQ}=\nu(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD})

La distancia entre las rectas será el módulo de este vector

d = |\overrightarrow{PQ}| = |\nu|\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|

Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro ν. Igualando las dos expresiones para el vector \overrightarrow{PQ}

\nu(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CD}-\lambda\overrightarrow{AB}

Multiplicando escalarmente por \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD} nos queda simplemente

\nu \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|^2 = \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD})

y por tanto la distancia que buscamos es

d = \frac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD})\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|}

Nótese que el resultado final no requiere localizar los puntos P y Q sino que hemos llegado a una expresión para la distancia que solo depende de los cuatro puntos dados.

Sustituyendo los valores tenemos

\overrightarrow{AB}=(9\vec{\imath}-12\vec{\jmath})\,\mathrm{m}        \overrightarrow{CD}=5\vec{k}\,\mathrm{m}        \overrightarrow{AC}=(7\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\vec{k})\,\mathrm{m}

Hallando los productos vectoriales y mixto

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left(-60\vec{\imath}-45\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}^2        \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right| = 75\,\mathrm{m}^2        \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = -375\,\mathrm{m}^3

por lo que la distancia entre las rectas es

d = \left|\frac{-375\,\mathrm{m}^3}{75\,\mathrm{m}^2}\right|=5\,\mathrm{m}

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