No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas

Enunciado

Sean las rectas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_1} , que pasa por los puntos $A(-2,5,1)$ y $B(7,-7,1)$, y $r_{2}$ que pasa por $C(5,4,-3)$ y $D(5,4,2)$ (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

Solución

La distancia entre dos rectas es la correspondiente a la que hay entre los puntos más próximos de una y de otra. Estos dos puntos se encuentran sobre la perpendicular común a ambas rectas.

Se trata entonces de hallar la distancia entre dos puntos $P$ y $Q$ tales que $P$ pertenece a $r_{1}$, $Q$ pertenece a $r_{2}$ y ${\overrightarrow {PQ}}$ es ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.

Si $P$ pertenece a la recta $r_{1}$, se cumple

${\overrightarrow {AP}}=\lambda \,{\overrightarrow {AB}}$

y si $Q$ pertenece a $r_{2}$

${\overrightarrow {CQ}}=\mu \,{\overrightarrow {CD}}$

El vector de posición relativo entre ambos puntos será

${\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {AQ}}-{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CQ}}-{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AC}}+\mu \,{\overrightarrow {CD}}-\lambda \,{\overrightarrow {AB}}$

Este vector debe ser ortogonal tanto al vector ${\overrightarrow {AB}}$ como al vector ${\overrightarrow {CD}}$ y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos

${\overrightarrow {PQ}}=\nu \,({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})$

La distancia entre las rectas será el módulo de este vector

$d=|{\overrightarrow {PQ}}|=|\nu |\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}\right|$

Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro $\nu$. Igualando las dos expresiones para el vector ${\overrightarrow {PQ}}$

$\nu \,({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})={\overrightarrow {AC}}+\mu \,{\overrightarrow {CD}}-\lambda \,{\overrightarrow {AB}}$

Multiplicando escalarmente por ${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}$ nos queda simplemente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nu\, \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|^2 = \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD})}

y por tanto la distancia que buscamos es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = \frac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD})\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right|}}

Nótese que el resultado final no requiere localizar los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q} sino que hemos llegado a una expresión para la distancia que solo depende de los cuatro puntos dados.

Sustituyendo los valores tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=(9\vec{\imath}-12\vec{\jmath})\,\mathrm{m}\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CD}=5\vec{k}\,\mathrm{m}\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=(7\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\vec{k})\,\mathrm{m}}

Hallando los productos vectoriales y mixto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left(-60\vec{\imath}-45\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}^2\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right| = 75\,\mathrm{m}^2\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = -375\,\mathrm{m}^3}

por lo que la distancia entre las rectas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = \left|\frac{-375\,\mathrm{m}^3}{75\,\mathrm{m}^2}\right|=5\,\mathrm{m}}