Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas»
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Si <math>P</math> pertenece a la recta <math>r_1</math>, se cumple | Si <math>P</math> pertenece a la recta <math>r_1</math>, se cumple | ||
<center><math>\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}</math></center> | <center><math>\overrightarrow{AP}=\lambda\,\overrightarrow{AB}</math></center> | ||
y si <math>Q</math> pertenece a <math>r_2</math> | y si <math>Q</math> pertenece a <math>r_2</math> | ||
<center><math>\overrightarrow{CQ}=\mu\overrightarrow{CD}</math></center> | <center><math>\overrightarrow{CQ}=\mu\,\overrightarrow{CD}</math></center> | ||
El vector de posición relativo entre ambos puntos será | El vector de posición relativo entre ambos puntos será | ||
<center><math>\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CD}-\lambda\overrightarrow{AB}</math></center> | <center><math>\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\mu\,\overrightarrow{CD}-\lambda\,\overrightarrow{AB}</math></center> | ||
Este vector debe ser ortogonal tanto al vector <math>\overrightarrow{AB}</math> como al vector <math>\overrightarrow{CD}</math> y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos | Este vector debe ser ortogonal tanto al vector <math>\overrightarrow{AB}</math> como al vector <math>\overrightarrow{CD}</math> y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos | ||
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Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro <math>\nu</math>. Igualando las dos expresiones para el vector <math>\overrightarrow{PQ}</math> | Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro <math>\nu</math>. Igualando las dos expresiones para el vector <math>\overrightarrow{PQ}</math> | ||
<center><math>\nu\,(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CD}-\lambda\overrightarrow{AB}</math></center> | <center><math>\nu\,(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{AC}+\mu\,\overrightarrow{CD}-\lambda\,\overrightarrow{AB}</math></center> | ||
Multiplicando escalarmente por <math>\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}</math> nos queda simplemente | Multiplicando escalarmente por <math>\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}</math> nos queda simplemente |
Revisión actual - 14:51 9 ene 2024
Enunciado
Sean las rectas , que pasa por los puntos y , y que pasa por y (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.
Solución
La distancia entre dos rectas es la correspondiente a la que hay entre los puntos más próximos de una y de otra. Estos dos puntos se encuentran sobre la perpendicular común a ambas rectas.
Se trata entonces de hallar la distancia entre dos puntos y tales que pertenece a , pertenece a y es ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.
Si pertenece a la recta , se cumple
y si pertenece a
El vector de posición relativo entre ambos puntos será
Este vector debe ser ortogonal tanto al vector como al vector y por tanto será paralelo al producto vectorial de ambos
La distancia entre las rectas será el módulo de este vector
Por tanto, solo necesitamos hallar el parámetro . Igualando las dos expresiones para el vector
Multiplicando escalarmente por nos queda simplemente
y por tanto la distancia que buscamos es
Nótese que el resultado final no requiere localizar los puntos y sino que hemos llegado a una expresión para la distancia que solo depende de los cuatro puntos dados.
Sustituyendo los valores tenemos
Hallando los productos vectoriales y mixto
por lo que la distancia entre las rectas es