Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)

Enunciado

Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}e^{-\omega t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\omega t\,$

donde $\rho _{0}\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
2. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
3. Calcule el radio de curvatura.

Vector velocidad y rapidez del movimiento

La velocidad en componentes polares viene dada por la expresión

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Calculamos, por tanto, las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

${\dot {\rho }}=-\omega \rho _{0}e^{-\omega t}=-\omega \rho$        ${\dot {\theta }}=\omega$

y sustituimos

${\vec {v}}=-\omega \rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\omega \rho \,{\vec {u}}_{\theta }$

Tomando módulo del vector velocidad, obtenemos la rapidez del movimiento

$v=|{\vec {v}}\,|={\sqrt {2}}\,\omega \rho$

Vector aceleración y sus componentes intrínsecas

La aceleración en componentes polares viene dada por la expresión

${\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,\right)\,{\vec {u}}_{\theta }$

Necesitamos también, por tanto, las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

${\ddot {\rho }}=\omega ^{2}\!\rho _{0}e^{-\omega t}=\omega ^{2}\!\rho$        ${\ddot {\theta }}=0$

y sustituyendo y operando

${\vec {a}}=-2\,\omega ^{2}\!\rho \,{\vec {u}}_{\theta }$

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la rapidez previamente calculada:

$a_{t}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}={\frac {-2\omega ^{3}\!\rho ^{2}}{{\sqrt {2}}\,\omega \rho }}=-{\sqrt {2}}\,\omega ^{2}\!\rho$        $a_{t}={\dot {v}}={\sqrt {2}}\,\omega {\dot {\rho }}=-{\sqrt {2}}\,\omega ^{2}\!\rho$

Y entonces, la componente normal de la aceleración (siempre positiva) la podemos determinar a partir de:

$a_{n}={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}-a_{t}^{2}}}={\sqrt {4\,\omega ^{4}\rho ^{2}-2\,\omega ^{4}\rho ^{2}}}={\sqrt {2\,\omega ^{4}\rho ^{2}}}={\sqrt {2}}\,\omega ^{2}\!\rho$

Radio de curvatura

El radio de curvatura se puede calcular a partir del conocimiento de la componente normal de la aceleración y de la rapidez del movimiento:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {2\,\omega ^{2}\rho ^{2}}{{\sqrt {2}}\,\omega ^{2}\rho }}={\sqrt {2}}\,\rho$