Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

Enunciado

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación $x-2y+2z=0\,$ y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector ${\overrightarrow {OP}}=(4\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {\jmath }}\,)\,\mathrm {m}$. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

Solución

Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector ${\vec {N}}\,$ normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$ en su misma dirección:

$x-2y+2z=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {N}}=({\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}})\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {u}}_{N}={\frac {\vec {N}}{|{\vec {N}}|}}=\left({\frac {1}{3}}\,{\vec {\imath }}-{\frac {2}{3}}\,{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}\,{\vec {k}}\right)\,$

Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector ${\overrightarrow {OP}}\,$ sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector ${\vec {N}}\,$. Por tanto, la longitud $L\,$ de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector ${\overrightarrow {OP}}\,$ por el vector unitario en la dirección normal al suelo ${\vec {u}}_{N}\,$:

$L=\mathrm {proy} _{\perp {\vec {N}}}\left[{\overrightarrow {OP}}\right]=\left|{\overrightarrow {OP}}\times {\vec {u}}_{N}\right|=\left|-2\,{\vec {\imath }}-{\frac {8}{3}}\,{\vec {\jmath }}-{\frac {5}{3}}\,{\vec {k}}\,\right|\,\mathrm {m} ={\sqrt {\frac {125}{9}}}\,\mathrm {m} ={\frac {5{\sqrt {5}}}{3}}\,\mathrm {m}$