Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

Enunciado

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x-2y+2z=0\,} y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}} . Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

Solución

Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}\,} normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_N\,} en su misma dirección:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x-2y+2z=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{N}=(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\left(\frac{1}{3}\,\vec{\imath}-\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\,\vec{k}\right)\,}

Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}\,} sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}\,} . Por tanto, la longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}\,} por el vector unitario en la dirección normal al suelo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_N\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=\mathrm{proy}_{\perp \vec{N}}\left[\overrightarrow{OP}\right]=\left|\overrightarrow{OP}\times\vec{u}_N\right|=\left|-2\,\vec{\imath}-\frac{8}{3}\,\vec{\jmath}-\frac{5}{3}\,\vec{k}\,\right|\,\mathrm{m}=\sqrt{\frac{125}{9}}\,\mathrm{m}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{m}}