Barra deslizando sobre esquina (Nov. 2018)

Enunciado

Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica en la figura. El punto $A$ de la barra se mueve sobre una barra fija (también sólido "1") con velocidad constante ${\vec {v}}_{0}$. En el instante indicado en la figura la barra forma un ángulo $\pi /4$ con el eje $O_{1}X_{1}$. Las preguntas que se plantean a continuación se refieren todas al instante indicado en la figura.

1. Expresa el vector geométrico ${\overrightarrow {O_{1}A}}$.
2. Encuentra gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
3. vector de posición del C.I.R. respecto del origen $O_{1}$.
4. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $A$. ¿Cuál es la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}$?
5. Si la barra es homogénea, tiene masa $M$ y longitud $L=2h$ calcula el momento de inercia de la barra respecto a un eje paralelo al eje $O_{1}Z_{1}$ que pase por $O_{1}$.

Solución

Vector geométrico ${\overrightarrow {O_{1}A}}$

Como el ángulo que forma la barra con el eje $OX_{1}$ es $\pi /4$, la componentes del vector ${\overrightarrow {OA}}$ son iguales sobre los ejes $OX_{1}$ y $OY_{1}$,

${\overrightarrow {O_{1}A}}=h\,{\vec {\imath }}_{1}+h\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Posición del C.I.R.

Como se indica en la figura de la derecha, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ es paralela al eje $O_{1}X_{1}$, mientras que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}$ es paralela a la propia barra, pues esta desliza sobre la esquina. Trazando las rectas perpendiculares a las velocidades respectivas en los dos puntos encontramos el C.I.R. $I_{21}$ en el punto en que se cortan. El vector de posición es

${\overrightarrow {O_{1}I}}_{21}=h\,{\vec {\imath }}_{1}-h\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Reducción cinemática en $A$

Hay tres maneras de hacer este apartado: a través del C.I.R., usando que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}$ es paralela a la propia barra o usando la condición de equiproyectividad.

Usando el C.I.R.

Al ser un movimiento plano sabemos que el vector rotación es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {k}}.$

Como la velocidad en el C.I.R. es cero tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {I_{21}A}}.$

El vector geométrico es

${\overrightarrow {I_{21}A}}=2h\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por tanto tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=(\omega \,{\vec {k}})\times (2h\,{\vec {\jmath }}_{1})=-2\omega h\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Como por otro lado tenemos ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ tenemos

$\omega =-{\dfrac {v_{0}}{2h}}.$

La reducción cinemática en $A$ es

${\vec {\omega }}=-{\dfrac {v_{0}}{2h}}\,{\vec {k}},\qquad \qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Ahora podemos calcular la velocidad en $O$

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO_{1}}}={\dfrac {v_{0}}{2}}\,({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})$

Usando la dirección conocida de la velocidad en $O$

De nuevo razonamos que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {k}}.$

Sabemos que la velocidad en $O$ debe ser paralela al vector ${\overrightarrow {O_{1}A}}$. Usando el Teorema de Chasles tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO_{1}}}=(v_{0}+\omega h)\,{\vec {\imath }}_{1}-\omega h\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Imponiendo que debe ser paralelo a la barra tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}\times {\overrightarrow {O_{1}A}}={\vec {0}}\Longrightarrow 2\omega h^{2}+v_{0}h=0\Longrightarrow \omega =-{\dfrac {v_{0}}{2h}}.$

Con lo que reobtenemos el resultado anterior.

Usando equiproyectividad

De nuevo partimos de que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {k}}.$

La velocidad en $O$ debe ser paralela a la barra, por lo que debe tener la forma

${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}=v\,\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\right).$

La condición de equiproyectividad impone que

${\vec {v}}_{21}^{\,A}\cdot {\overrightarrow {O_{1}A}}={\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}\cdot {\overrightarrow {O_{1}A}}\Longrightarrow {\sqrt {2}}vh=v_{0}h\Longrightarrow v=v_{0}/{\sqrt {2}}.$

La velocidad en $O_{1}$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}={\dfrac {v_{0}}{2}}\,\left({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1}\right).$

Y ahora podemos usar el Teorema de Chasles entre los puntos $O_{1}$ y $A$ para obtener ${\vec {\omega }}_{21}$.

Momento de inercia en $O_{1}$

Lo mas sencillo es utilizar el Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra que pase por su centro de masas es

$I_{G}={\dfrac {1}{12}}ML^{2}={\dfrac {1}{3}}Mh^{2}.$

El momento de inercia pedido se puede calcular así

$I_{O_{1}}=I_{G}+Md^{2},$

donde $d$ es la distancia entre el centro de la barra, $G$ y el punto $O_{1}$. Del dibujo podemos deducir

${\overline {O_{1}G}}={\overline {O_{1}A}}-{\overline {GA}}={\sqrt {2}}h-h=h\,({\sqrt {2}}-1).$

Entonces

$I_{O_{1}}={\dfrac {1}{3}}Mh^{2}+Mh^{2}\,({\sqrt {2}}-1)^{2}={\dfrac {2}{3}}\,(5-3{\sqrt {2}})\,Mh^{2}=0.505Mh^{2}.$