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Barra deslizando sobre esquina (Nov. 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica en la figura. El punto A de la barra se mueve sobre una barra fija (también sólido "1") con velocidad constante \vec{v}_0. En el instante indicado en la figura la barra forma un ángulo π / 4 con el eje O1X1. Las preguntas que se plantean a continuación se refieren todas al instante indicado en la figura.

  1. Expresa el vector geométrico \overrightarrow{O_1A}.
  2. Encuentra gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
  3. vector de posición del C.I.R. respecto del origen O1.
  4. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto A. ¿Cuál es la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21}?
  5. Si la barra es homogénea, tiene masa M y longitud L = 2h calcula el momento de inercia de la barra respecto a un eje paralelo al eje O1Z1 que pase por O1.

2 Solución

2.1 Vector geométrico \overrightarrow{O_1A}

Como el ángulo que forma la barra con el eje OX1 es π / 4, la componentes del vector \overrightarrow{OA} son iguales sobre los ejes OX1 y OY1,


\overrightarrow{O_1A} = h\,\vec{\imath}_1 + h\,\vec{\jmath}_1.

2.2 Posición del C.I.R.

Como se indica en la figura de la derecha, la velocidad \vec{v}^{\,A}_{21} es paralela al eje O1X1, mientras que la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21} es paralela a la propia barra, pues esta desliza sobre la esquina. Trazando las rectas perpendiculares a las velocidades respectivas en los dos puntos encontramos el C.I.R. I21 en el punto en que se cortan. El vector de posición es


\overrightarrow{O_1I}_{21} = h\,\vec{\imath}_1 - h\,\vec{\jmath}_1.

2.3 Reducción cinemática en A

Hay tres maneras de hacer este apartado: a través del C.I.R., usando que la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21} es paralela a la propia barra o usando la condición de equiproyectividad.

2.3.1 Usando el C.I.R.

Al ser un movimiento plano sabemos que el vector rotación es de la forma


\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.

Como la velocidad en el C.I.R. es cero tenemos


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}.

El vector geométrico es


\overrightarrow{I_{21}A} = 2h\,\vec{\jmath}_1.

Por tanto tenemos


\vec{v}^{\,A}_{21} = (\omega\,\vec{k})\times(2h\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega h\,\vec{\imath}_1.

Como por otro lado tenemos \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 tenemos


\omega = -\dfrac{v_0}{2h}.

La reducción cinemática en A es


\vec{\omega} = -\dfrac{v_0}{2h}\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{v}^{\,A}_{21}= v_0\,\vec{\imath}_1.

Ahora podemos calcular la velocidad en O


\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1} 
=
\dfrac{v_0}{2}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)

2.3.2 Usando la dirección conocida de la velocidad en O

De nuevo razonamos que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es de la forma


\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.

Sabemos que la velocidad en O debe ser paralela al vector \overrightarrow{O_1A}. Usando el Teorema de Chasles tenemos


\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1} 
=
(v_0+\omega h)\,\vec{\imath}_1 - \omega h\,\vec{\jmath}_1.

Imponiendo que debe ser paralelo a la barra tenemos


\vec{v}^{\,O_1}_{21}\times\overrightarrow{O_1A} = \vec{0} 
\Longrightarrow
2\omega h^2 + v_0h=0
\Longrightarrow
\omega = -\dfrac{v_0}{2h}.

Con lo que reobtenemos el resultado anterior.

2.3.3 Usando equiproyectividad

De nuevo partimos de que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es


\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.

La velocidad en O debe ser paralela a la barra, por lo que debe tener la forma


\vec{v}^{\,O_1}_{21} = v\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_1\right).

La condición de equiproyectividad impone que


\vec{v}^{\,A}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} =\vec{v}^{\,O_1}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} 
\Longrightarrow
\sqrt{2}vh = v_0h
\Longrightarrow
v = v_0/\sqrt{2}.

La velocidad en O1 es


\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \dfrac{v_0}{2}\,\left(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right).

Y ahora podemos usar el Teorema de Chasles entre los puntos O1 y A para obtener \vec{\omega}_{21}.

2.4 Momento de inercia en O1

Lo mas sencillo es utilizar el Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra que pase por su centro de masas es


I_G = \dfrac{1}{12}ML^2 = \dfrac{1}{3}Mh^2.

El momento de inercia pedido se puede calcular así


I_{O_1} = I_G + Md^2,

donde d es la distancia entre el centro de la barra, G y el punto O1. Del dibujo podemos deducir


\overline{O_1G} = \overline{O_1A} - \overline{GA}
=
\sqrt{2}h - h
=
h\,(\sqrt{2}-1).

Entonces


I_{O_1} = \dfrac{1}{3}Mh^2 + Mh^2\,(\sqrt{2}-1)^2
=
\dfrac{2}{3}\,(5-3\sqrt{2})\,Mh^2 = 0.505Mh^2.

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