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| == Enunciado ==
| | Por su extensión, este apartado se ha estructurado en tres partes: |
| Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
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| == Solución ==
| | # [[Posición, trayectoria y ley horaria (GIE)|Posición, trayectoria y ley horaria]] |
| [[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right]] | | # [[Velocidad y aceleración en tres dimensiones (GIE)|Velocidad y aceleración]] |
| Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
| | # [[Casos particulares de movimiento tridimensional (GIE)|Casos particulares de movimiento tridimensional]] |
| <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
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| con los senos de los vértices opuestos:
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| <center><math>
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| \frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
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| </math></center>
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| El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
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| de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
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| <center><math>
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| \begin{array}{l}
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| a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\
| |
| b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\
| |
| c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}}
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| \end{array}
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| </math></center>
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| ===Teorema del coseno=== | | ==Problemas== |
| Consideramos los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math>. Se
| | <categorytree mode=pages depth="2">Problemas de cinemática tridimensional (GIE)</categorytree> |
| tiene
| | [[Categoría:Cinemática de la partícula (GIE)]] |
| <center><math>
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| \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
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| </math></center>
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| La longitud del lado es <math>a=|\overrightarrow{BC}|</math>, por tanto
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| <center><math>
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| \begin{array}{ll}
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| a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 =
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| |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
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| &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}}
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| \end{array}
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| </math></center>
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| pues el ángulo entre <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> es precisamente el del
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| vértice <math>A</math>.
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| Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.
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| ===Teorema del seno===
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| Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de <math>\overrightarrow{BC}</math> por si mismo. Tenemos
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| <center><math>
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| \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
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| \Longrightarrow
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| \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}
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| </math></center>
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| Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{lll}
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| &|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\
| |
| &|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
| |
| &a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
| |
| & b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
| |
| &\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center> | |
| De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
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| Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
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| igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
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| <center><math>
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| |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|
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| </math></center>
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| [[Categoría:Vectores libres|0]] | |
| [[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.C.)]]
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