Posición, trayectoria y ley horaria (GIE)

Posición instantánea

Cuando una partícula se mueve por el espacio en cada instante ocupará una posición, que irá cambiando de forma continua con el tiempo (ya que la partícula no puede desmaterializarse o teleportarse a otra posición).

En principio podemos etiquetar cada posición por una letra A, B, C,... Sin embargo, es más práctico identificar cada posición por su vector de posición cuyas componentes cartesianas son las distancias (con signo) a los planos coordenados

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}+z(t){\vec {k}}$

Aquí $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ son ciertas funciones continuas del tiempo.

Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se conocen la ecuación horaria o ecuaciones horarias del movimiento (el uso indistinto de singular o plural es porque podemos considerarla una sola ecuación vectorial o tres escalares).

Desplazamiento

El desplazamiento de una partícula en un intervalo $\Delta t$ es la diferencia (vectorial) entre la posición al final del intervalo y la posición inicial

$\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})={\vec {r}}(t_{1}+\Delta t)-{\vec {r}}(t_{1})$

Es importante hacer la distinción entre el desplazamiento y la distancia recorrida. Una partícula que recorra una curva cerrada tendrá un desplazamiento nulo, aunque la distancia recorrida no sea nula.

Desplazamiento diferencial

Cuando tenemos un desplazamiento entre dos instantes muy próximos,separados un intervalo $\mathrm {d} t$, se dice que tenemos un desplazamiento diferencial

$\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {r}}(t+\mathrm {d} t)-{\vec {r}}(t)$

Desde el punto de vista matemático, la palabra diferencial implica el proceso de tomar el límite $\mathrm {d} t=\Delta t\to 0$, con lo que técnicamente un desplazamiento diferencial tiene longitud nula. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, es más sencillo considerar un desplazamiento diferencial como de longitud muy pequeña comparada con las distancias típicas consideradas. Por ejemplo, si estamos hablando del desplazamiento de un vehículo sobre distancias de kilómetros a lo largo de minutos, un intervalo de milisegundos puede tratarse como un diferencial de tiempo, y un desplazamiento de milímetros puede considerarse un desplazamiento diferencial.

Trayectoria

Una partícula, al evolucionar en el tiempo, salvo cuando se encuentre en reposo, describe una curva en el espacio. Esta curva se conoce como la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones horarias sirven como ecuaciones paramétricas de la trayectoria, siendo el tiempo el parámetro.

No obstante, a una misma trayectoria le pueden corresponder infinitas ecuaciones horarias, dependiendo del ritmo con el que se recorre la curva. Por ejemplo, las ecuaciones horarias

${\vec {r}}=A\,(\cos(\omega t){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}),$

y

${\vec {r}}(t)=A{\frac {T^{2}-t^{2}}{T^{2}+t^{2}}}{\vec {\imath }}+{\frac {2ATt}{T^{2}+t^{2}}}{\vec {\jmath }}$

y

${\vec {r}}={\sqrt {\frac {A^{2}+kt}{2}}}{\vec {\imath }}+{\sqrt {\frac {A^{2}-kt}{2}}}{\vec {\imath }}$

corresponden a la misma trayectoria, un arco de circunferencia horizontal.

En ocasiones, para indicar la trayectoria es preferible usar ecuaciones implícitas. En estas, se dan dos funciones (una sola, si el movimiento es plano), tales que

$F(x,y,z)=0\qquad G(x,y,z)=0\qquad \forall t$

Así, los tres ejemplos anteriores verifican

$x^{2}+y^{2}=A^{2}\,$    $z=0\,$

La primera superficie corresponde a un cilindro circular vertical, mientras que la primera es un plano horizontal. La intersección de estas dos es una circunferencia.

Parametrización de una trayectoria

La trayectoria que sigue una partícula es una propiedad puramente geométrica, independiente de si se recorre con una cierta rapidez u otra diferente. Por ello, para describir la trayectoria, considerada como curva en el espacio, no es preciso -ni siquiera conveniente- que en esta descripción aparezca explícitamente el tiempo. Todo lo que necesitamos es un método para identificar los puntos que componen la trayectoria.

Esto se consigue mediante una parametrización, que no es más que la asignación de etiquetas individuales para cada punto. Por conveniencia de cálculo, esta etiqueta consiste usualmente en una variable $\theta$, que varía de forma continua a lo largo de la curva.

Por ejemplo, para parametrizar una trayectoria circular, la variable más cómoda es el ángulo que forma el vector de posición con un eje fijo

${\vec {r}}(\theta )=R\cos(\theta ){\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}$

y no es necesario interpretar $\theta$ en términos de un tiempo (aunque puede hacerse, para visualizar la curva, al variar $\theta$ de forma uniforme, recorremos la circunferencia con rapidez constante).

Esa misma trayectoria puede parametrizarse de formas diferentes. Por ejemplo, podríamos emplear la coordenada x y escribir

${\vec {r}}(x)=x{\vec {\imath }}+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\vec {\jmath }}$

Distancia medida sobre la curva

Para evitar el problema que supone identificar si las trayectorias de diferentes movimientos son coincidentes o no (debido a las diferencias en el ritmo con el que se recorre, o las variables empleadas para describir la trayectoria) se introduce la parametrización natural única para cada trayectoria (salvo un signo).

La idea es sencilla. En lugar de etiquetar cada punto de la trayectoria con el instante en que se pasa por él o con una variable arbitraria, se etiqueta usando la distancia $s$ (sobre la curva) desde un punto de referencia:

${\vec {r}}={\vec {r}}(s)$

Esto es exactamente lo que se hace en las carreteras, cuyos puntos se identifican mediante los postes kilométricos (y no por la hora en que un viajero concreto pase por cada punto).

La parametrización natural es única para cada trayectoria, salvo el signo correspondiente al sentido en que se recorre la curva (en el caso de la carretera, si desde Sevilla a Granada, o desde Granada a Sevilla). También el punto desde el que se empieza a contar queda libre.

A la variable $s$, que mide la distancia sobre la curva, se la denomina parámetro natural o parámetro arco. Para medir la distancia a lo largo de la curva lo que se hace es rectificar esta. Rectificar consiste en descomponer la curva en una infinitud de trozos de longitud diferencial, cada uno de los cuales se puede considerar aproximadamente rectilíneo, de forma que

$\mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|$       

Sumando las longitudes de muchos trocitos diferenciales (esto es, integrando), obtenemos el valor del parámetro arco en un punto de la curva

$s=s_{0}+\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}|\mathrm {d} {\vec {r}}|$

Ley horaria

Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo. Esta dependencia temporal se conoce como ley horaria:

$s=s(t)\,$

En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la carretera va hacia el sur o hacia el este.

Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:

${\mbox{ecuacion horaria}}\ {\vec {r}}={\vec {r}}(t)={\begin{cases}{\vec {r}}={\vec {r}}(s)&{\mbox{trayectoria}}\\&\\s=s(t)&{\mbox{ley horaria}}\end{cases}}$

Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable, como el ángulo del ejemplo anterior, también se denomina ley horaria a la dependencia de esta variable con el tiempo. Así, en general:

${\mbox{ecuacion horaria}}\ {\vec {r}}={\vec {r}}(t)={\begin{cases}{\vec {r}}={\vec {r}}(\varphi )&{\mbox{trayectoria}}\\&\\\varphi =\varphi (t)&{\mbox{ley horaria}}\end{cases}}$

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