Ejemplo gráfico de movimiento plano

Enunciado

En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)

1. En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
2. ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

Nota sobre unidades

En lo que sigue, todas las distancias se miden en cm, las velocidades en cm/s y las velocidades angulares en rad/s.

Velocidad del origen

Podemos hallar la velocidad del punto O:

• Aplicando la condición cinemática de rigidez
• Mediante la fórmula del campo de velocidades
• Gráfica o analíticamente una vez localizado el CIR

Condición de rigidez

La velocidad del origen la podemos escribir como

${\vec {v}}_{O}=v_{Ox}{\vec {\imath }}+v_{Oy}{\vec {\jmath }}$

Esta velocidad debe cumplir, junto con la del punto A, la condición de rigidez o de equiproyectividad

${\vec {v}}_{O}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {OA}}$

donde

${\overrightarrow {OA}}={\vec {r}}_{A}-{\vec {r}}_{O}=4{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{A}=-2\,{\vec {\imath }}$

lo que nos da una componente de la velocidad del origen

$\left\{{\begin{array}{rcl}{\vec {v}}_{O}\cdot {\overrightarrow {OA}}&=&(v_{Ox}{\vec {\imath }}+v_{Oy}{\vec {\jmath }})\cdot (4{\vec {\jmath }})=4v_{Oy}\\{\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {OA}}&=&(-2\,{\vec {\imath }})\cdot (4{\vec {\jmath }})=0\end{array}}\right.\qquad \Rightarrow \qquad v_{Oy}=0$

De manera análoga, tenemos, para el punto B

${\overrightarrow {OB}}={\vec {r}}_{A}-{\vec {r}}_{O}=4{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{B}=2\,{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}$

y

$\left\{{\begin{array}{rcl}{\vec {v}}_{O}\cdot {\overrightarrow {OB}}&=&(v_{Ox}{\vec {\imath }}+v_{Oy}{\vec {\jmath }})\cdot (4{\vec {\imath }})=4v_{Ox}\\{\vec {v}}_{B}\cdot {\overrightarrow {OB}}&=&(2\,{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }})\cdot (4{\vec {\imath }})=8\end{array}}\right.\qquad \Rightarrow \qquad v_{Ox}=2$

Combinando los dos resultados podemos expresar la velocidad del origen en forma vectorial

${\vec {v}}_{O}=2{\vec {\imath }}$

Mediante el campo de velocidades

Calculamos en primer lugar la velocidad angular. Puesto que se trata de un movimiento plano, la velocidad angular es ortogonal a él

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

Relacionamos ahora las velocidades de A y B

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}$

siendo

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=4{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }}$

lo que nos da

$2{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}=-2{\vec {\imath }}+(\omega {\vec {k}})\times (4{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }})=(-2+4\omega ){\vec {\imath }}+4\omega {\vec {\jmath }}$

Igualando componente a componente

$2=-2+4\omega \qquad \qquad 4=4\omega \qquad \Rightarrow \qquad \omega =1$

Las dos ecuaciones tienen la misma solución, porque si no no se cumpliría la condición de rigidez. Por tanto

${\vec {\omega }}={\vec {k}}$

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos la velocidad del punto O a partir de la de A

${\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AO}}=-2{\vec {\imath }}+({\vec {k}}\times (-4{\vec {\jmath }})=(-2+4){\vec {\imath }}=2{\vec {\imath }}$

Centro instantáneo de rotación

La posición del CIR la podemos determinar tanto analítica como geométricamente.

Determinación analítica

En un movimiento plano, la posición del CIR respecto a un punto A del que conocemos la velocidad es

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{A}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}$

En nuestro caso, empleando la velocidad angular que ya calculamos

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {k}}\times (-2{\vec {\imath }})}{1}}=-2{\vec {\jmath }}$

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}=4{\vec {\jmath }}-2{\vec {\jmath }}=2{\vec {\jmath }}$

Determinación geométrica

Para hallar geométricamente la posición del CIR observamos que, para todo punto P se cumple

${\vec {v}}_{P}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {IP}}$

la velocidad de cada punto es ortogonal al vector de posición relativo respecto al CIR.

Trazamos entonces las perpendiculares a las velocidades ${\vec {v}}_{A}$ y ${\vec {v}}_{B}$ por los puntos respectivos. El CIR se halla en la interesección de estas dos perpendiculares. En este caso este punto tiene por vector de posición

${\overrightarrow {OI}}=2{\vec {\jmath }}$

Velocidad del origen

Una vez que tenemos localizado el CIR y conocemos la velocidad angular, podemos hallar la velocidad de cualquier punto. Para el origen de coordenadas

${\vec {v}}_{O}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {IO}}={\vec {k}}\times (-2{\vec {\jmath }})=2{\vec {\imath }}$