Momento de inercia de un sólido compuesto de cuatro barras y un aro

Enunciado

EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado $L$. Cada lado del hexágono tiene una masa $m$.

1. Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
2. Calcula el tensor de inercia en el vértice $A$, expresado en los mismos ejes.
3. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje $OX$ y que pase por $A$.

Solución

Tensor de inercia en $O$

Al ser un sólido plano el eje perpendicular a el es Eje Principal de Inercia (EPI) en todos los puntos del plano del sólido. En este caso ese eje es el $Z$. Además, los ejes $X$ e $Y$ son ejes de simetría, por lo que también son EPI. Aunque en este caso, debido a la simetría del hexágono, todos los ejes que pasan por $O$ y están contenidos en el plano $XY$ son EPI.

Entonces el tensor de inercia en $O$ es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{xx}&0&0\\0&I_{yy}&0\\0&0&I_{zz}\end{array}}\right].$

Por la simetría en el plano $XY$, se tiene $I_{xx}=I_{yy}$. Y usando el Teorema de los Ejes Perpendiculares tenemos

$I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}=2I_{xx}\to I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}/2.$

Con lo cual el tensor queda

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{zz}/2&0&0\\0&I_{zz}/2&0\\0&0&I_{zz}\end{array}}\right].$

Para calcular $I_{zz}(O)$ dividimos la integral en seis partes, una por cada barra. Tenemos así

$I_{zz}(O)=6I_{b}(O),$

Donde $I_{b}(O)$ es el momento de inercia de cada barra respecto a un eje paralelo a $Z$ que pasa por $O$. Por la simetría del hexágono esta magnitud es la misma para las seis barras. El hexágono se puede dividir en seis triángulos equiláteros de lado $L$, como se indica en la figura. Utilizando el Teorema de los Ejes Paralelos tenemos

$I_{b}(O)=I_{zz}(C)+mh^{2}$

El momento $I_{zz}(C)$ es el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro, esto es

$I_{zz}(C)=mL^{2}/12.$

De la figura tenemos

$h={\sqrt {L^{2}-L^{2}/4}}={\sqrt {3}}L/2.$

Por tanto

$I_{b}(O)={\dfrac {1}{12}}mL^{2}+{\dfrac {3}{4}}mL^{2}={\dfrac {5}{6}}mL^{2}.$

Y para todo el hexágono

$I_{zz}(O)=6I_{b}(O)=5mL^{2}.$

Y el tensor que se pide es

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}5mL^{2}/2&0&0\\0&5mL^{2}/2&0\\0&0&5mL^{2}\end{array}}\right].$

Tensor de inercia en $A$

Utilizamos el Teorema de Steiner para trasladar el tensor de inercia desde $O$ hasta $A$:

${\overleftrightarrow {I_{A}}}={\overleftrightarrow {I_{O}}}+m\left(|{\overrightarrow {OA}}|^{2}{\overleftrightarrow {U}}-{\overrightarrow {OA}}\,{\overrightarrow {OA}}\right).{\begin{array}{c}\end{array}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OA}}=L\,(\cos(\pi /3)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,(\pi /3)\,{\vec {\jmath }})=L\,\left({\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\jmath }}\right)$

Operando

$|{\overrightarrow {OA}}|^{2}{\overleftrightarrow {U}}=\left[{\begin{array}{ccc}L^{2}&0&0\\0&L^{2}&0\\0&0&L^{2}\end{array}}\right],\qquad {\overrightarrow {OA}}\,{\overrightarrow {OA}}=\left[{\begin{array}{ccc}L^{2}/4&{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\{\sqrt {3}}L^{2}/4&3L^{2}/4&0\\0&0&0\end{array}}\right].$

El término que se añade al tensor en $O$ es

$\left[{\begin{array}{ccc}3mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&mL^{2}/4&0\\0&0&mL^{2}\end{array}}\right].$

Y el resultado pedido es

${\overleftrightarrow {I_{A}}}=\left[{\begin{array}{ccc}13mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&11mL^{2}/4&0\\0&0&6mL^{2}\end{array}}\right].$

Podemos observar que el Teorema de los Ejes perpendiculares se sigue cumpliendo en este tensor, como debe ser pues es un sólido plano. También vemos que el tensor en $A$ no es diagonal. Esto significa que los ejes $X$ e $Y$ no son EPI en $A$.

Momento de inercia en $A$

Una vez calculado el tensor de inercia en $A$ podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje que pase por $A$ si tenemos un vector unitario en la dirección de ese eje

$I(A)={\vec {n}}\cdot {\overleftrightarrow {I_{A}}}\cdot {\vec {n}}.{\begin{array}{c}\end{array}}$

En este caso el vector adecuado es

${\vec {n}}={\vec {\imath }}=[1,0,0].$

Operando tenemos

$I_{xx}(A)=[1,0,0]\left[{\begin{array}{ccc}13mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&11mL^{2}/4&0\\0&0&6mL^{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]=13mL^{2}/4.$