Dos partículas unidas por una barra (GIE)

Enunciado

Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida de longitud $b$, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial $v_{0}$ perpendicular a la línea de la barra, mientras que la otra se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?

Introducción

Este es un ejemplo de sólido rígido: una vez que se le comunica la velocidad inicial, ninguna fuerza actúa sobre el sistema. Esto quiere decir que en su movimiento se conservan:

• La cantidad de movimiento
• El momento cinético
• La energía cinética

Con estas leyes tenemos información más que de sobra para determinar el estado posterior de la barra.

Estado inicial

El movimiento de ambas partículas va a ser en todo momento sobre el plano. Si tomamos un sistema de ejes cartesianos tal que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la posición inicial de la barra, y el eje Y alineado con ella inicialmente, las posiciones de partida de ambas partículas son

${\overrightarrow {OA}}_{0}=-{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\overrightarrow {OB}}_{0}={\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}$

mientras que las velocidades iniciales valen

${\vec {v}}_{A0}=v_{0}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{B0}={\vec {0}}$

Esto nos da los valores iniciales:

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sólido es

${\vec {p}}=m_{A}{\vec {v}}_{A0}+m_{B}{\vec {v}}_{B0}=mv_{0}{\vec {\imath }}$

lo cual nos da la velocidad inicial del CM

${\vec {v}}_{G0}={\frac {m_{A}{\vec {v}}_{A0}+m_{B}{\vec {v}}_{B0}}{m_{A}+m_{B}}}={\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\imath }}$

siendo la posición inicial del CM

${\overrightarrow {OG}}_{0}={\frac {m_{A}{\overrightarrow {OA}}_{0}+m_{B}{\overrightarrow {OB}}_{0}}{m_{A}+m_{B}}}={\vec {0}}$

Momento cinético

El momento cinético respecto al origen de coordenadas vale

${\vec {L}}_{O}=m_{A}{\overrightarrow {OA}}_{0}\times {\vec {v}}_{A0}+m_{B}{\overrightarrow {OB}}_{0}\times {\vec {v}}_{B0}=m\left(-{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\right)\times (v_{0}{\vec {\imath }})+m\left(+{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\right)\times {\vec {0}}={\frac {mbv_{0}}{2}}{\vec {k}}$

También podemos calcular el momento cinético respecto al CM, que inicialmente se encuentra en el origen de coordenadas. Las posiciones relativas son las mismas que las absolutas

${\overrightarrow {GA}}_{0}={\overrightarrow {OA}}_{0}-{\overrightarrow {OG}}_{0}=-{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}$    ${\overrightarrow {GB}}_{0}={\overrightarrow {OB}}_{0}-{\overrightarrow {OG}}_{0}=+{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}$

pero las velocidades relativas son diferentes, pues el CM está en movimiento

${\vec {v}}_{A0}^{\,,}={\vec {v}}_{A0}-{\vec {v}}_{G0}=+{\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\imath }}$    ${\vec {v}}_{B0}^{\,,}={\vec {v}}_{B0}-{\vec {v}}_{G0}=-{\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\jmath }}$

El momento cinético respecto al CM es entonces

${\vec {L}}_{G}=m_{A}{\overrightarrow {GA}}_{0}\times {\vec {v}}_{A0}^{\,,}+m_{B}{\overrightarrow {GB}}_{0}\times {\vec {v}}_{B0}^{\,,}=m\left(-{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\right)\times \left(+{\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\imath }}\right)+m\left(+{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}\right)\times \left(-{\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\imath }}\right)={\frac {mbv_{0}}{2}}{\vec {k}}$

El valor es el mismo que el que calculamos antes ya que el CM coincide inicialmente con el origen de coordenadas, por lo que

${\vec {L}}_{O}=M\overbrace {{\overrightarrow {OG}}_{0}} ^{={\vec {0}}}\times {\vec {v}}_{G0}+{\vec {L}}_{G}={\vec {L}}_{G}$

Sin embargo, hay que recalcar la diferencia entre ambos puntos: el origen de coordenadas es un punto fijo; el centro de masas es un punto móvil cuya posición instantánea coincide con el origen de coordenadas.

Energía cinética

La energía cinética del sólido es igual a la suma de las de sus partículas

$K={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{A0}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{B0}|^{2}={\frac {mv_{0}^{2}}{2}}$

Esta energía cinética se compone de una parte de movimiento con el centro de masas y otra alrededor de él. La primera vale

${\frac {1}{2}}M|{\vec {v}}_{G0}|^{2}={\frac {1}{2}}(2m)\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)^{2}={\frac {mv_{0}^{2}}{4}}$

y la segunda

$K'={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{A0}^{\,,}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{B0}^{\,,}|^{2}={\frac {m}{2}}\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)^{2}+{\frac {m}{2}}\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)^{2}={\frac {mv_{0}^{2}}{4}}$

Movimiento del centro de masas

En este sistema todas las fuerzas son internas, y se ejercen mediante la tensión de la barra, que funciona como un resorte de longitud natural $b$ y constante de recuperación infinita. Por ello se conservan tanto la cantidad de movimiento como el momento cinético del sistema.

De la conservación de la cantidad de movimiento del sistema se deduce que el centro de masas se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme

${\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OG}}_{0}+{\vec {v}}_{G0}t={\frac {v_{0}t}{2}}{\vec {\imath }}$

Geométricamente esto significa que el centro de la barra se mueve uniformemente y la barra gira en torno a su centro, de una manera que aun hemos de determinar.

Movimiento alrededor del CM

Al ser un sólido libre se conserva el momento cinético alrededor del CM

${\vec {L}}_{G}={\frac {mbv_{0}}{2}}{\vec {k}}=\mathrm {cte}$

Puesto que la barra se mueve siempre sobre la superficie horizontal, su movimiento es plano, con lo que su velocidad angular apunta en la dirección de ${\vec {k}}$, coincidente con la de ${\vec {L}}_{G}$. Al ser paralelos

${\vec {L}}_{G}=I{\vec {\omega }}$

siendo $I$ el momento de inercia alrededor del CM. Este momento de inercia es igual a la suma del producto de las masas por las distancias al eje elevadas al cuadrado

$I=m_{A}R_{A}^{2}+m_{B}R_{B}^{2}=m\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {mb^{2}}{2}}$

y de aquí obtenemos que la velocidad angular permanece constante

${\vec {\omega }}={\frac {{\vec {L}}_{G}}{I}}={\frac {mbv_{0}/2}{mb^{2}/2}}{\vec {k}}={\frac {v_{0}}{b}}{\vec {k}}$

Movimiento de la barra

Tenemos entonces que la barra describe un movimiento tal que en todo instante la velocidad de su centro es

${\vec {v}}_{G}={\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\imath }}$

y su velocidad angular vale

${\vec {\omega }}={\frac {v_{0}}{b}}{\vec {k}}$

Puesto que la velocidad angular no es nula, el movimiento no es una traslación (ni reposo, claro está). Al ser la velocidad de un punto perpendicular a la velocidad angular

${\vec {v}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}=\left({\frac {v_{0}}{2}}{\vec {\jmath }}\right)\cdot \left({\frac {v_{0}}{b}}{\vec {k}}\right)=0$

el movimiento instantáneo es una rotación, pero no alrededor del CM. El centro instantáneo de rotación se encuentra en el punto respecto al CM

${\overrightarrow {GI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{G}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}={\frac {(v_{0}/b){\vec {k}}\times (v_{0}/2){\vec {\imath }}}{(v_{0}/b)^{2}}}=+{\frac {b}{2}}{\vec {\jmath }}$

Es decir, en todo momento la barra se encuentra rotando en torno a un punto situado a una distancia $(b/2)$ a un lado del CM (y que por tanto avanza con él). Este movimiento es equivalente al de un disco de radio $(b/2)$ que rueda uniformemente sobre una línea recta

Cada una de las partículas describe una cicloide, y el movimiento de la barra es el mismo que tendría un diámetro de un disco que rodara sin deslizar.