Enunciado
Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
perpendicular a la línea de la barra, mientras que la otra se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?
Introducción
Este es un ejemplo de sólido rígido: una vez que se le comunica la velocidad inicial, ninguna fuerza actúa sobre el sistema. Esto quiere decir que en su movimiento se conservan:
- La cantidad de movimiento
- El momento cinético
- La energía cinética
Con estas leyes tenemos información más que de sobra para determinar el estado posterior de la barra.
Estado inicial
El movimiento de ambas partículas va a ser en todo momento sobre el plano. Si tomamos un sistema de ejes cartesianos tal que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la posición inicial de la barra, y el eje Y alineado con ella inicialmente, las posiciones de partida de ambas partículas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}_0=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}\qquad\qquad\overrightarrow{OB}_0=\frac{b}{2}\vec{\jmath}}
mientras que las velocidades iniciales valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{A0}=v_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_{B0}=\vec{0}}
Esto nos da los valores iniciales:
Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento del sólido es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{p}=m_A\vec{v}_{A0} + m_B\vec{v}_{B0} = mv_0\vec{\imath}}
lo cual nos da la velocidad inicial del CM
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{G0} = \frac{m_A\vec{v}_{A0}+m_B\vec{v}_{B0}}{m_A+m_B} = \frac{v_0}{2}\vec{\imath}}
siendo la posición inicial del CM
Momento cinético
El momento cinético respecto al origen de coordenadas vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=m_A\overrightarrow{OA}_0\times\vec{v}_{A0}+m_B\overrightarrow{OB}_0\times\vec{v}_{B0} = m\left(-\frac{b}{2}\vec{\jmath}\right)\times(v_0\vec{\imath})+m\left(+\frac{b}{2}\vec{\jmath}\right)\times\vec{0} = \frac{mbv_0}{2}\vec{k}}
También podemos calcular el momento cinético respecto al CM, que inicialmente se encuentra en el origen de coordenadas. Las posiciones relativas son las mismas que las absolutas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GA}_0=\overrightarrow{OA}_0-\overrightarrow{OG}_0=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GB}_0=\overrightarrow{OB}_0-\overrightarrow{OG}_0=+\frac{b}{2}\vec{\jmath}}
pero las velocidades relativas son diferentes, pues el CM está en movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,,}_{A0}=\vec{v}_{A0}-\vec{v}_{G0}=+\frac{v_0}{2}\vec{\imath}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,,}_{B0}=\vec{v}_{B0}-\vec{v}_{G0}=-\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}}
El momento cinético respecto al CM es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G=m_A\overrightarrow{GA}_0\times\vec{v}^{\,,}_{A0}+m_B\overrightarrow{GB}_0\times\vec{v}^{\,,}_{B0} = m\left(-\frac{b}{2}\vec{\jmath}\right)\times\left(+\frac{v_0}{2}\vec{\imath}\right)+m\left(+\frac{b}{2}\vec{\jmath}\right)\times\left(-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}\right) = \frac{mbv_0}{2}\vec{k}}
El valor es el mismo que el que calculamos antes ya que el CM coincide inicialmente con el origen de coordenadas, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = M\overbrace{\overrightarrow{OG}_0}^{=\vec{0}}\times\vec{v}_{G0}+\vec{L}_G=\vec{L}_G}
Sin embargo, hay que recalcar la diferencia entre ambos puntos: el origen de coordenadas es un punto fijo; el centro de masas es un punto móvil cuya posición instantánea coincide con el origen de coordenadas.
Energía cinética
La energía cinética del sólido es igual a la suma de las de sus partículas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_{A0}|^2+\frac{1}{2}m|\vec{v}_{B0}|^2 = \frac{mv_0^2}{2}}
Esta energía cinética se compone de una parte de movimiento con el centro de masas y otra alrededor de él. La primera vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}M|\vec{v}_{G0}|^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{mv_0^2}{4}}
y la segunda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K' = \frac{1}{2}m|\vec{v}^{\,,}_{A0}|^2+\frac{1}{2}m|\vec{v}^{\,,}_{B0}|^2 = \frac{m}{2}\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{m}{2}\left(\frac{v_0}{2}\right)^2=\frac{mv_0^2}{4}}
Movimiento del centro de masas
En este sistema todas las fuerzas son internas, y se ejercen mediante la tensión de la barra, que funciona como un resorte de longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
y constante de recuperación infinita. Por ello se conservan tanto la cantidad de movimiento como el momento cinético del sistema.
De la conservación de la cantidad de movimiento del sistema se deduce que el centro de masas se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OG}_0+\vec{v}_{G0}t = \frac{v_0t}{2}\vec{\imath}}
Geométricamente esto significa que el centro de la barra se mueve uniformemente y la barra gira en torno a su centro, de una manera que aun hemos de determinar.
Movimiento alrededor del CM
Al ser un sólido libre se conserva el momento cinético alrededor del CM
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Puesto que la barra se mueve siempre sobre la superficie horizontal, su movimiento es plano, con lo que su velocidad angular apunta en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}}
, coincidente con la de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G}
. Al ser paralelos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I\vec{\omega}}
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I}
el momento de inercia alrededor del CM. Este momento de inercia es igual a la suma del producto de las masas por las distancias al eje elevadas al cuadrado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = m_AR_A^2 + m_B R_B^2 = m\left(\frac{b}{2}\right)^2 + m\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{mb^2}{2}}
y de aquí obtenemos que la velocidad angular permanece constante
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Movimiento de la barra
Tenemos entonces que la barra describe un movimiento tal que en todo instante la velocidad de su centro es
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y su velocidad angular vale
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Puesto que la velocidad angular no es nula, el movimiento no es una traslación (ni reposo, claro está). Al ser la velocidad de un punto perpendicular a la velocidad angular
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el movimiento instantáneo es una rotación, pero no alrededor del CM. El centro instantáneo de rotación se encuentra en el punto respecto al CM
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GI} = \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_G}{|\vec{\omega}|^2} = \frac{(v_0/b)\vec{k}\times(v_0/2)\vec{\imath}}{(v_0/b)^2}=+\frac{b}{2}\vec{\jmath}}
Es decir, en todo momento la barra se encuentra rotando en torno a un punto situado a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b/2)}
a un lado del CM (y que por tanto avanza con él). Este movimiento es equivalente al de un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b/2)}
que rueda uniformemente sobre una línea recta
Cada una de las partículas describe una cicloide, y el movimiento de la barra es el mismo que tendría un diámetro de un disco que rodara sin deslizar.
