No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)

Enunciado

Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano $OX_{0}Y_{0}\,$, desliza sobre el eje $OX_{0}\,$ (sólido "0") con velocidad relativa constante ${\vec {v}}_{20}^{\,\mathrm {tras} }(t)=v\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Al mismo tiempo, la escuadra $OX_{0}Y_{0}\,$ (sólido "0"), articulada en el punto $O\,$ a la escuadra fija y coplanaria $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}\,$.

1. Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento $\{21\}\,$.
2. Determine la aceleración del punto $O\,$ en el movimiento $\{21\}\,$.

Determinación analítica de la posición del C.I.R.{21}

Determinamos primero la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ mediante la ley de composición de velocidades angulares:

${\vec {\omega }}_{21}=\underbrace {{\vec {\omega }}_{20}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es nula por ser el movimiento $\{20\}\,$ una traslación, y que ${\vec {\omega }}_{01}\,$ es un dato del ejercicio.

A continuación, determinamos la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ mediante la ley de composición de velocidades:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}=\!\!\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {v}}_{20}^{\,\mathrm {tras} }}\!\!+\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}=v\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que el campo de velocidades del movimiento $\{20\}\,$ es uniforme (traslación) y de valor conocido (dato), y que ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$ es nula por ser $O\,$ un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$.

Sustituyendo el valor de estas magnitudes en la fórmula deducida en la teoría, se obtiene el vector de posición del C.I.R.{21}:

${\overrightarrow {OI_{21}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{\,2}}}={\frac {\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times v\,{\vec {\imath }}_{0}}{\Omega ^{\,2}}}={\frac {v}{\Omega }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración del punto O en el movimiento {21}

Calculamos primero la aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$ a partir de su definición:

${\vec {a}}_{20}^{\,O}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,\mathrm {tras} }}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} (v\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Por otra parte, la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,O}\,$ también es nula por ser $O\,$ un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$:

${\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$

Por último, determinamos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones:

${\vec {a}}_{21}^{\,O}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\,2\,{\vec {\omega }}_{01}\!\times \!\!\!\!\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {v}}_{20}^{\,\mathrm {tras} }}=2\,\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times v\,{\vec {\imath }}_{0}=2\,\Omega \,v{\vec {\jmath }}_{0}$