No Boletín - Identificación de movimiento a partir de reducción cinemática (Ex.Ene/15)

Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro de referencia OXYZ. En un instante dado, se conoce el vector velocidad angular del sólido y la velocidad de su punto $O(0,0,0)\,$:

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}=(-2\,{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,+\,2\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{O}=(\,2\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

1. ¿Cuál es la velocidad de su punto $A(-2,1,2)\,\,\mathrm {m} \,\,$?
2. ¿Qué tipo de movimiento instantáneo es?

Velocidad del punto A del sólido rígido

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad ${\vec {v}}_{A}\,$ del punto $A\,$:

${\overrightarrow {OA}}=(-2\,{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,+\,2\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}\,+\,\,{\vec {\omega }}\,\times \,{\overrightarrow {OA}}=(2\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,)\,+\,\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-2&1&2\\-2&1&2\end{array}}\right|=(2\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Obsérvese que se obtiene ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}\,$ por estar los puntos $O\,$ y $A\,$ contenidos en una recta paralela a la velocidad angular del sólido (${\overrightarrow {OA}}\parallel {\vec {\omega }}\,$).

Tipo de movimiento instantáneo

A continuación, calculamos la velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$, que es la proyección de la velocidad de cualquier punto del sólido sobre la velocidad angular:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{O}\cdot \,{\vec {\omega }}}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}={\frac {(2\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)\cdot (-2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,)}{|-2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,|}}=-\,{\frac {4}{3}}\,\,\mathrm {m/s}$

Conocidos los invariantes primero (${\vec {\omega }}\,$) y segundo ($v_{d}\,$), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}\neq {\vec {0}}\\v_{d}\neq 0\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {HELICOIDAL}$