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No Boletín - Identificación de movimiento a partir de reducción cinemática (Ex.Ene/15)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro de referencia OXYZ. En un instante dado, se conoce el vector velocidad angular del sólido y la velocidad de su punto O(0,0,0)\,:


\vec{\omega}=(-2\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_O=(\,2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
  1. ¿Cuál es la velocidad de su punto A(-2,1,2)\,\,\mathrm{m}\,\,?
  2. ¿Qué tipo de movimiento instantáneo es?

2 Velocidad del punto A del sólido rígido

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad \vec{v}_A\, del punto A\,:


\overrightarrow{OA}=(-2\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}_A=\vec{v}_O\,+\,\,\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{OA}=(2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,+\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right|=(2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

Obsérvese que se obtiene \vec{v}_A=\vec{v}_O\, por estar los puntos O\, y A\, contenidos en una recta paralela a la velocidad angular del sólido (\overrightarrow{OA}\parallel\vec{\omega}\,).

3 Tipo de movimiento instantáneo

A continuación, calculamos la velocidad de deslizamiento v_d\,, que es la proyección de la velocidad de cualquier punto del sólido sobre la velocidad angular:


v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\,\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(2\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\cdot(-2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|-2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=-\,\frac{4}{3}\,\,\mathrm{m/s}

Conocidos los invariantes primero (\vec{\omega}\,) y segundo (v_d\,), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:


\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}\neq\vec{0} \\ v_d\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{HELICOIDAL}

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