Enunciado

Un disco homogéneo de masa y radio (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el interior de un arco de circunferencia de radio . Se escoge el sólido "0" de modo que el eje contiene siempre el centro del disco. La gravedad actúa como se indica en la figura. El contacto entre el disco y la superficie interior del arco de circunferencia es rugoso. Un momento de fuerzas actúa sobre el disco. Utiliza los vectores de la base "0" para expresar todos los vectores del problema.

  1. Escribe la reducción cinemática del movimiento {21} en el centro de masas del disco, así como su derivada temporal en función de los grados de libertad.
  2. Calcula la cantidad de movimiento del disco y su energía cinética.
  3. Usando las técnicas de Dinámica analítica, encuentra la o las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del disco.
  4. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
  5. Aplicando las técnicas de Dinámica vectorial, encuentra las ecuaciones que dan el valor de las fuerzas vinculares.
  6. Utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra la expresión de para que el centro del disco se mueva de modo que , con constante.
  7. A partir de ahora, supondremos que no hay momento aplicado. En el instante inicial el disco se encuentra al pie del arco de circunferencia (el disco a trazos de la figura), con , . Se aplica una percusión en el centro del disco. Encuentra el valor de después de la percusión.
  8. Si se tiene que , ¿qué valor mínimo debe tener para que el disco llegue hasta el punto sin separarse del arco de circunferencia? (El centro del disco ya no se mueve con rapidez constante)

Solución

Se trata de un movimiento plano. En este tipo de problemas, el eje , y por tanto el vector es común a todos los sólidos. Tal como están elegidos los ejes en la figura, el sentido positivo del eje apunta hacia fuera. El disco tiene como máximo tres grados de libertad.

Reducción cinemática

Movimiento {01}

El punto es un punto fijo del sólido "0" ( el eje ) y el sólido "1" ( el camino circular). El ángulo que forma el eje con el es . Tenemos

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

Movimiento {20}

El centro del disco es un punto fijo del sólido "2" (el disco) y el sólido "0" ( el eje ). Además el ángulo que forma el eje con el es . Por tanto

El signo negativo en se razona así. Este vector rotación describe el movimiento de los ejes "2" respecto a los ejes "0", manteniendo quietos estos últimos. Si , el ángulo aumenta. Como el eje es el que se mantiene fijo, el eje rota hacia abajo, por lo que el vector rotación tiene que apuntar hacia dentro, para que describa correctamente la rotación.

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

Movimiento {21}

Usamos la composición de movimiento {21} = {20} + {01}. Tenemos

Tenemos que aplicar la ligadura de rodadura sin deslizamiento. Esta ligadura implica que . Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

Imponiendo que esta velocidad tiene que ser cero obtenemos la ligadura

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en es

Vemos que hay sólo un grado de libertad. Otra forma de llegar a este resultado es observar que la ligadura de rodadura sin deslizamiento en , , prohibe dos movimientos (estamos en movimiento plano). Es decir, son dos vínculos. Como el número máximo de grados de libertad es tres, vemos que sólo hay un grado de libertad.

Aplicamos las leyes de composición para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

Cantidad de movimiento y energía cinética

La cantidad de movimiento del disco es

Para calcular la energía cinética, usamos que es un movimiento plano. Por tanto, no hace falta utilziar el tensor de inercia

Ecuación de movimiento con Dinámica analítica

La función de Lagrange es

La energía cinética la tenemos del apartado anterior. La energía potencial es la que corresponde a la gravedad. Eligiendo como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del eje , tenemos

Por tanto la función de Lagrange es

Sólo hay un grado de libertad. Entonces sólo hay una ecuación de movimiento

El término proviene del momento de fuerza que actúa sobre el disco. Procedemos a hacer los cálculos

Por tanto, la ecuación de movimiento es

Diagrama de fuerzas

La imagen de la derecha muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre el disco. Son las siguientes

La fuerza de rozamiento puede ir en cualquiera de los dos sentidos. La fuerza vincular normal debe apuntar hacia el punto , pues el vínculo es unilateral.

Dinámica vectorial

Las leyes que describen el movimiento del disco son el Teorema del Centro de Masas (TCM) y el Teorema del Momento Cinético (TMC).

TCM

El teorema dice que

Como la cantidad de movimiento está expresada en la base del sólido "0", tenemos que aplicar la fórmula de Poisson para hacer la derivada temporal

También podemos hacer

Proyectando el TCM en los ejes "0" obtenemos dos ecuaciones

TMC

Aplicamos el TMC en el centro de masas del disco

El peso no crea momento respecto de pues está aplicado en él. La fuerza normal tampoco pues el punto está en su recta soporte.

El vector es el mismo para todos los sólidos, por lo que la derivada temporal es

El producto vectorial es

La ecuación que obtenemos es

Las incógnitas son . Con las tres ecuaciones tenemos planteado el problema. Despejando de (2) y sustiuyendo en (3) obtenemos la misma ecuación de movimiento del apartado 3. Una vez resuelto , con las correspondientes condiciones iniciales, las fuerzas vinculares se obrtendrían con las expresiones

Valor del momento aplicado para que ruede con velocidad angular constante

En este caso consideramos el vínculo cinemático

Como este vínculo afecta a una rotación, el multiplicador de Lagrange asociado es una componente de momento angular. Es decir, el multiplicador de Lagrante es la componente del momento aplicado

El signo depende de en que sentido escojamos la definición del vínculo .

La ecuación de movimiento con el multiplicador de Lagrange es

La función de Lagrange y, por tanto, el lado izquierdo de la ecuación es el mismo que en el apartado 3. El lado derecho es

La ecuación queda

Esta ecuación es la misma que la obtenida en el apartado 3, salvo por el signo del multiplicador. Aplicando el vínculo obtenemos

El valor es el valor inicial del ángulo . El momento debe ir hacia dentro, para que el disco suba por la circunferencia. Entonces, el momento aplicado debe ser

Percusión

A partir de ahora no hay momento aplicado. La función de Lagrange es la misma que en el apartado 3.

En el instante en que se produce la percusión . Es decir, el eje coincide con el y el eje coincide con el

Por eso se da la percusión expresada en la base "0" y "1".

La ecuación de Lagrange percusiva es

El momento generalizado es

La variación del momento generalizado es

La percusión generalizada es

De la ecuación de Lagrange percusiva obtenemos

Condición para que el disco llegue al punto C sin separarse

En esta situación, después de la percusión aplicada sobre el centro del disco, este rueda sin deslizar subiendo por el interior de la circunferencia. Para que llege hasta sin separarse tiene que ocurrir que la fuerza normal nunca se anule. Por tanto, la condición límite es que, en , se cumpla . Es decir,

Las ecuaciones obtenidas en el apartado 5 son válidas en este caso, tomando . La condición entonces se expresa como

Ahora bien, dado que no hay momento externo aplicado, la energía mecánica del disco se conserva durante el movimiento. Recordemos que en una rodadura sin rozamiento la fuerza de rozamiento no hace trabajo, pues el punto de contacto entre el disco y la circunferencia, donde se aplica la fuerza de rozamiento, tiene velocidad relativa nula.

Usando los resultados del apartado 3, podemos escribir la energía mecánica en y en

Igualando las energías mecánicas llegamos a

De la percusión del apartado anterior tenemos

donde hemos utilizado que el enunciado dice que . De la condición de que hemos obtenido el valor mínimo de . Sustiyendo obtenemos el valor mínimo de