Disco rodando sin deslizar en el interior de un camino circular

Enunciado

Un disco homogéneo de masa $m=2m_{0}$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el interior de un arco de circunferencia de radio $5R$. Se escoge el sólido "0" de modo que el eje $OX_{0}$ contiene siempre el centro $G$ del disco. La gravedad actúa como se indica en la figura. El contacto entre el disco y la superficie interior del arco de circunferencia es rugoso. Un momento de fuerzas ${\vec {\tau }}=\tau \,{\vec {k}}$ actúa sobre el disco. Utiliza los vectores de la base "0" para expresar todos los vectores del problema.

1. Escribe la reducción cinemática del movimiento {21} en el centro de masas del disco, así como su derivada temporal en función de los grados de libertad.
2. Calcula la cantidad de movimiento del disco y su energía cinética.
3. Usando las técnicas de Dinámica analítica, encuentra la o las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del disco.
4. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
5. Aplicando las técnicas de Dinámica vectorial, encuentra las ecuaciones que dan el valor de las fuerzas vinculares.
6. Utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra la expresión de $\tau$ para que el centro del disco se mueva de modo que ${\dot {\phi }}=\omega _{0}$, con $\omega _{0}$ constante.
7. A partir de ahora, supondremos que no hay momento aplicado. En el instante inicial el disco se encuentra al pie del arco de circunferencia (el disco a trazos de la figura), con $\phi (0^{-})=-\pi /2$, ${\dot {\phi }}(0^{-})=0$. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F_{0}}}\,{\vec {\imath }}_{1}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$ en el centro del disco. Encuentra el valor de ${\dot {\phi }}$ después de la percusión.
8. Si se tiene que ${\hat {F}}_{0}=12\lambda m_{0}{\sqrt {gR}}$, ¿qué valor mínimo debe tener $\lambda$ para que el disco llegue hasta el punto $C$ sin separarse del arco de circunferencia? (El centro del disco ya no se mueve con rapidez constante)

Solución

Se trata de un movimiento plano. En este tipo de problemas, el eje $Z$, y por tanto el vector ${\vec {k}}$ es común a todos los sólidos. Tal como están elegidos los ejes en la figura, el sentido positivo del eje $Z$ apunta hacia fuera. El disco tiene como máximo tres grados de libertad.

Reducción cinemática

Movimiento {01}

El punto $O$ es un punto fijo del sólido "0" ( el eje $X_{0}$) y el sólido "1" ( el camino circular). El ángulo que forma el eje $X_{0}$ con el $X_{1}$ es $\phi$. Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Movimiento {20}

El centro del disco $G$ es un punto fijo del sólido "2" (el disco) y el sólido "0" ( el eje $X_{0}$). Además el ángulo que forma el eje $X_{2}$ con el $X_{0}$ es $\theta$. Por tanto

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.$

El signo negativo en ${\vec {\omega }}_{20}$ se razona así. Este vector rotación describe el movimiento de los ejes "2" respecto a los ejes "0", manteniendo quietos estos últimos. Si ${\dot {\theta }}>0$, el ángulo $\theta$ aumenta. Como el eje $X_{0}$ es el que se mantiene fijo, el eje $X_{2}$ rota hacia abajo, por lo que el vector rotación ${\vec {\omega }}_{20}$ tiene que apuntar hacia dentro, para que describa correctamente la rotación.

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=-{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}.$

Movimiento {21}

Usamos la composición de movimiento {21} = {20} + {01}. Tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {\omega }}_{21}=&{\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=({\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})\,{\vec {k}}.\\{\vec {v}}_{21}^{\,G}=&{\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&{\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\\&{\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&\qquad {\overrightarrow {OG}}=4R\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Tenemos que aplicar la ligadura de rodadura sin deslizamiento. Esta ligadura implica que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}$. Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,B}=&{\vec {v}}_{21}^{\,G}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GB}}=R(5{\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&{\overrightarrow {GB}}=R\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Imponiendo que esta velocidad tiene que ser cero obtenemos la ligadura

${\dot {\theta }}=5{\dot {\phi }}.$

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en $G$ es

${\vec {\omega }}_{21}=-4{\dot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,G}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Vemos que hay sólo un grado de libertad. Otra forma de llegar a este resultado es observar que la ligadura de rodadura sin deslizamiento en $B$, ${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}$, prohibe dos movimientos (estamos en movimiento plano). Es decir, son dos vínculos. Como el número máximo de grados de libertad es tres, vemos que sólo hay un grado de libertad.

Aplicamos las leyes de composición para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-4{\ddot {\phi }}\,{\vec {k}}.\\{\vec {a}}_{21}^{\,G}={\vec {a}}_{20}^{\,G}+{\vec {a}}_{01}^{\,G}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=-4R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+4R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\\quad {\vec {a}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.\\\quad {\vec {a}}_{01}^{\,G}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {OG}}=-4R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+4R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\\qquad {\overrightarrow {OG}}=4R\,{\vec {\imath }}_{0}.\\\quad 2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.\end{array}}$

Cantidad de movimiento y energía cinética

La cantidad de movimiento del disco es

${\vec {C}}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=8m_{0}R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Para calcular la energía cinética, usamos que es un movimiento plano. Por tanto, no hace falta utilziar el tensor de inercia

${\begin{array}{l}T=T_{tras}+T_{rot}=24m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}\\\\\quad T_{tras}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}=16m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}.\\\\\quad T_{rot}={\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}=8m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}\\\\\quad \quad I_{G}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}=m_{0}R^{2}.\end{array}}$

Ecuación de movimiento con Dinámica analítica

La función de Lagrange es

$L=T-U.$

La energía cinética la tenemos del apartado anterior. La energía potencial es la que corresponde a la gravedad. Eligiendo como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del eje $OX_{1}$, tenemos

$U=mg4R\,\mathrm {sen} \,\phi =8m_{0}gR\,\mathrm {sen} \,\phi .$

Por tanto la función de Lagrange es

$L=24m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}-8m_{0}gR\,\mathrm {sen} \,\phi .$

Sólo hay un grado de libertad. Entonces sólo hay una ecuación de movimiento

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \phi }}=Q_{\phi }^{\,NC}.$

El término $Q_{\phi }^{\,NC}$ proviene del momento de fuerza que actúa sobre el disco. Procedemos a hacer los cálculos

${\begin{array}{l}{\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=48m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)=48m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}\\{\dfrac {\partial L}{\partial \phi }}=-8m_{0}gR\cos \phi \\Q_{\phi }^{\,NC}={\vec {\tau }}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {\omega }}_{21}}{\partial {\dot {\phi }}}}=\left(\tau \,{\vec {k}}\right)\cdot (-4\,{\vec {k}})=-4\tau .\end{array}}$

Por tanto, la ecuación de movimiento es

$12m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}+2m_{0}gR\cos \phi =-\tau .$

Diagrama de fuerzas

La imagen de la derecha muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre el disco. Son las siguientes

${\begin{array}{ll}{\vec {P}}=-2m_{0}g\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\imath }}_{0}-2m_{0}g\cos \phi \,{\vec {\jmath }}_{0}&\mathrm {(Peso,\,aplicado\,en\,el\,punto\,G)} \\{\vec {B}}_{21}=-B\,{\vec {\imath }}_{0}&\mathrm {(Fuerza\,vincular\,normal,\,B>0,\,aplicada\,en\,el\,punto\,B)} \\{\vec {B}}_{21}^{\,R}=B_{R}\,{\vec {\jmath }}_{0}&\mathrm {(Fuerza\,de\,rozamiento,\,aplicada\,en\,el\,punto\,B)} \\{\vec {\tau }}=\tau \,{\vec {k}}&\mathrm {(Momento\,aplicado)} \end{array}}$

La fuerza de rozamiento puede ir en cualquiera de los dos sentidos. La fuerza vincular normal debe apuntar hacia el punto $O$, pues el vínculo es unilateral.

Dinámica vectorial

Las leyes que describen el movimiento del disco son el Teorema del Centro de Masas (TCM) y el Teorema del Momento Cinético (TMC).

TCM

El teorema dice que

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {C}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {P}}+{\vec {B}}_{21}+{\vec {B}}_{21}^{\,R}.$

Como la cantidad de movimiento está expresada en la base del sólido "0", tenemos que aplicar la fórmula de Poisson para hacer la derivada temporal

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {C}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {C}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {C}}=-8m_{0}R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+8m_{0}R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

También podemos hacer

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {C}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=m{\vec {a}}_{21}^{\,G}=-8m_{0}R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+8m_{0}R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Proyectando el TCM en los ejes "0" obtenemos dos ecuaciones

${\begin{array}{lclr}X_{0})&\to &8m_{0}R{\dot {\phi }}^{2}=2m_{0}g\,\mathrm {sen} \,\phi +B.&(1)\\Y_{0})&\to &8m_{0}R{\ddot {\phi }}=2m_{0}g\cos \phi +B_{R}.&(2)\end{array}}$

TMC

Aplicamos el TMC en el centro de masas del disco

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {M}}_{G}^{\,Tot}={\overrightarrow {GB}}\times {\vec {B}}_{21}^{\,R}+{\vec {\tau }}.$

El peso no crea momento respecto de $G$ pues está aplicado en él. La fuerza normal tampoco pues el punto $G$ está en su recta soporte.

El vector ${\vec {k}}$ es el mismo para todos los sólidos, por lo que la derivada temporal es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-4m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}\,{\vec {k}}.$

El producto vectorial es

${\overrightarrow {GB}}\times {\vec {B}}_{21}^{\,R}=(R\,{\vec {\imath }}_{0})\times (B_{R}\,{\vec {\jmath }}_{0})=RB_{R}\,{\vec {k}}.$

La ecuación que obtenemos es

$-4m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}=\tau +RB_{R}.\quad (3)$

Las incógnitas son $\{\phi ,B,B_{R}\}$. Con las tres ecuaciones tenemos planteado el problema. Despejando $B_{R}$ de (2) y sustiuyendo en (3) obtenemos la misma ecuación de movimiento del apartado 3. Una vez resuelto $\phi (t)$, con las correspondientes condiciones iniciales, las fuerzas vinculares se obrtendrían con las expresiones

${\begin{array}{l}{\vec {B}}_{21}=-4m_{0}\,(4R{\dot {\phi }}^{2}-g\,\mathrm {sen} \,\phi )\,{\vec {\imath }}_{0},\\{\vec {B}}_{21}^{\,R}=2m_{0}\,(4R{\ddot {\phi }}+g\cos \phi )\,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Valor del momento aplicado para que ruede con velocidad angular constante

En este caso consideramos el vínculo cinemático

$g={\dot {\phi }}-\omega _{0}=0.$

Como este vínculo afecta a una rotación, el multiplicador de Lagrange asociado es una componente de momento angular. Es decir, el multiplicador de Lagrante es la componente del momento aplicado

$\mu =\pm \tau .$

El signo depende de en que sentido escojamos la definición del vínculo $g$.

La ecuación de movimiento con el multiplicador de Lagrange es

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \phi }}=Q_{\phi }^{\,ML}.$

La función de Lagrange y, por tanto, el lado izquierdo de la ecuación es el mismo que en el apartado 3. El lado derecho es

$Q_{\phi }^{\,ML}=\mu {\dfrac {\partial g}{\partial {\dot {\phi }}}}=\mu$

La ecuación queda

$\mu =12m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}+2m_{0}gR\cos \phi$

Esta ecuación es la misma que la obtenida en el apartado 3, salvo por el signo del multiplicador. Aplicando el vínculo $g$ obtenemos

$\mu =2m_{0}gR\cos(\omega _{0}t+\phi (0)).$

El valor $\phi (0)$ es el valor inicial del ángulo $\phi$. El momento debe ir hacia dentro, para que el disco suba por la circunferencia. Entonces, el momento aplicado debe ser

${\vec {\tau }}=-2m_{0}gR\cos(\omega _{0}t+\phi (0))\,{\vec {k}}.$

Percusión

A partir de ahora no hay momento aplicado. La función de Lagrange es la misma que en el apartado 3.

En el instante en que se produce la percusión $\phi (0)=-\pi /2$. Es decir, el eje $X_{0}$ coincide con el $-Y_{1}$ y el eje $Y_{0}$ coincide con el $X_{1}$

${\vec {\imath }}_{0}(0)=-{\vec {\jmath }}_{1},\qquad {\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\imath }}_{1}.$

Por eso se da la percusión expresada en la base "0" y "1".

La ecuación de Lagrange percusiva es

$\Delta p_{\phi }={\hat {Q}}_{\phi }.$

El momento generalizado es

$p_{\phi }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=48m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}.$

La variación del momento generalizado es

$\Delta p_{\phi }=48m_{0}R^{2}\Delta ({\dot {\phi }})=48m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{+}.$

La percusión generalizada es

${\hat {Q}}_{\phi }=\left.{\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,G}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right|_{t=0^{-}}=({\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0})\cdot (4R\,{\vec {\jmath }}_{0})=4R{\hat {F}}_{0}.$

De la ecuación de Lagrange percusiva obtenemos

${\dot {\phi }}^{+}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{12m_{0}R}}.$

Condición para que el disco llegue al punto C sin separarse

En esta situación, después de la percusión aplicada sobre el centro del disco, este rueda sin deslizar subiendo por el interior de la circunferencia. Para que llege hasta $C$ sin separarse tiene que ocurrir que la fuerza normal ${\vec {B}}_{21}$ nunca se anule. Por tanto, la condición límite es que, en $C$, se cumpla $|{\vec {B}}_{21}|=0$. Es decir,

$\phi =\pi /2\Longrightarrow \left.B\right|_{C}=0.$

Las ecuaciones obtenidas en el apartado 5 son válidas en este caso, tomando $\tau =0$. La condición entonces se expresa como

$\left.B\right|_{C}=\left.B\right|_{\phi =\pi /2}=0\Longrightarrow \left.4m_{0}R{\dot {\phi }}^{2}\right|_{\phi =\pi /2}=m_{0}g\Longrightarrow \left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{\phi =\pi /2}=\left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{C}=g/4R.$

Ahora bien, dado que no hay momento externo aplicado, la energía mecánica del disco se conserva durante el movimiento. Recordemos que en una rodadura sin rozamiento la fuerza de rozamiento no hace trabajo, pues el punto de contacto entre el disco y la circunferencia, donde se aplica la fuerza de rozamiento, tiene velocidad relativa nula.

Usando los resultados del apartado 3, podemos escribir la energía mecánica en $A$ y en $C$

${\begin{array}{l}E_{A}=\left.E\right|_{\phi =-\pi /2}=-8m_{0}gR+24m_{0}R^{2}\left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{A}\\E_{C}=\left.E\right|_{\phi =\pi /2}=8m_{0}gR+24m_{0}R^{2}\left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{C}\end{array}}$

Igualando las energías mecánicas llegamos a

$\left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{A}=\left.{\dot {\phi }}^{2}\right|_{C}+{\dfrac {2g}{3R}}.$

De la percusión del apartado anterior tenemos

$\left.{\dot {\phi }}\right|_{A}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{12m_{0}R}}=\lambda \,{\sqrt {g/R}},$

donde hemos utilizado que el enunciado dice que ${\hat {F}}_{0}=12\lambda m_{0}{\sqrt {gR}}$. De la condición de que $\left.B\right|_{C}=0$ hemos obtenido el valor mínimo de $\left.{\dot {\phi }}\right|_{C}$. Sustiyendo obtenemos el valor mínimo de $\lambda$

$\lambda \geq {\sqrt {\dfrac {11}{12}}}.$