Disco rodando sin deslizar en el interior de un camino circular

Enunciado

Un disco homogéneo de masa $m=2m_{0}$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el interior de un arco de circunferencia de radio $5R$. Se escoge el sólido "0" de modo que el eje $OX_{0}$ contiene siempre el centro $G$ del disco. La gravedad actúa como se indica en la figura. El contacto entre el disco y la superficie interior del arco de circunferencia es rugoso. Un momento de fuerzas ${\vec {\tau }}=\tau \,{\vec {k}}$ actúa sobre el disco. Utiliza los vectores de la base "0" para expresar todos los vectores del problema.

1. Escribe la reducción cinemática del movimiento {21} en el centro de masas del disco, así como su derivada temporal en función de los grados de libertad.
2. Calcula la cantidad de movimiento del disco y su energía cinética.
3. Usando las técnicas de Dinámica analítica, encuentra la o las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del disco.
4. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
5. Aplicando las técnicas de Dinámica vectorial, encuentra las ecuaciones que dan el valor de las fuerzas vinculares.
6. Utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra la expresión de $\tau$ para que el centro del disco se mueva de modo que ${\dot {\phi }}=\omega _{0}$, con $\omega _{0}$ constante.
7. A partir de ahora, supondremos que no hay momento aplicado. En el instante inicial el disco se encuentra al pie del arco de circunferencia (el disco a trazos de la figura), con $\phi (0^{-})=-\pi /2$, ${\dot {\phi }}(0^{-})=0$. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F_{0}}}\,{\vec {\imath }}_{1}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$ en el centro del disco. Encuentra el valor de ${\dot {\phi }}$ después de la percusión.
8. Si se tiene que ${\hat {F}}_{0}=12\lambda m_{0}{\sqrt {gR}}$, ¿qué valor mínimo debe tener $\lambda$ para que el disco llegue hasta el punto $C$ sin separarse del arco de circunferencia? (El centro del disco ya no se mueve con rapidez constante)

Solución

Se trata de un movimiento plano. En este tipo de problemas, el eje $Z$, y por tanto el vector ${\vec {k}}$ es común a todos los sólidos. Tal como están elegidos los ejes en la figura, el sentido positivo del eje $Z$ apunta hacia fuera. Cada sólido tiene como máximo tres grados de libertad.

Reducción cinemática

Movimiento {01}

El punto $O$ es un punto fijo del sólido "0" ( el eje $X_{0}$) y el sólido "1" ( el camino circular). El ángulo que forma el eje $X_{0}$ con el $X_{1}$ es $\phi$. Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Movimiento {20}

El centro del disco $G$ es un punto fijo del sólido "2" (el disco) y el sólido "0" ( el eje $X_{0}$). Además el ángulo que forma el eje $X_{2}$ con el $X_{0}$ es $\theta$. Por tanto

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.$

El signo negativo en ${\vec {\omega }}_{20}$ se razona así. Este vector rotación describe el movimiento de los ejes "2" respecto a los ejes "0", manteniendo quietos estos últimos. Si ${\dot {\theta }}>0$, el ángulo $\theta$ aumenta. Como el eje $X_{0}$ es el que se mantiene fijo, el eje $X_{2}$ rota hacia abajo, por lo que el vector rotación ${\vec {\omega }}_{20}$ tiene que apuntar hacia dentro, para que describa correctamente la rotación.

Podemos derivar respecto del tiempo estos vectores para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=-{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}.$

Movimiento {21}

Usamos la composición de movimiento {21} = {20} + {01}. Tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {\omega }}_{21}=&{\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=({\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})\,{\vec {k}}.\\{\vec {v}}_{21}^{\,G}=&{\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&{\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\\&{\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&\qquad {\overrightarrow {OG}}=4R\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Tenemos que aplicar la ligadura de rodadura sin deslizamiento. Esta ligadura implica que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}$. Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,B}=&{\vec {v}}_{21}^{\,G}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GB}}=R(5{\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&{\overrightarrow {GB}}=R\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Imponiendo que esta velocidad tiene que ser cero obtenemos la ligadura

${\dot {\theta }}=5{\dot {\phi }}.$

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en $G$ es

${\vec {\omega }}_{21}=-4{\dot {\phi }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,G}=4R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Vemos que hay sólo un grado de libertad. Otra forma de llegar a este resultado es observar que la ligadura de rodadura sin deslizamiento en $B$, ${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}$, prohibe dos movimientos (estamos en movimiento plano). Es decir, son dos vínculos. Como el número máximo de grados de libertad es tres, vemos que sólo hay un grado de libertad.

Aplicamos las leyes de composición para obtener la derivada temporal de la reducción cinemática

${\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-4{\ddot {\phi }}\,{\vec {k}}.\\{\vec {a}}_{21}^{\,G}={\vec {a}}_{20}^{\,G}+{\vec {a}}_{01}^{\,G}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=-4R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+4R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\\quad {\vec {a}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.\\\quad {\vec {a}}_{01}^{\,G}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {OG}}=-4R{\dot {\phi }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+4R{\ddot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\\qquad {\overrightarrow {OG}}=4R\,{\vec {\imath }}_{0}.\\\quad 2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}.\end{array}}$

Cantidad de movimiento y energía cinética

La cantidad de movimiento del disco es

${\vec {C}}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=8m_{0}R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Para calcular la energía cinética, usamos que es un movimiento plano. Por tanto, no hace falta utilziar el tensor de inercia

${\begin{array}{l}T=T_{tras}+T_{rot}=24m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}\\\\\quad T_{tras}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}=16m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}.\\\\\quad T_{rot}={\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}=8m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}\\\\\quad \quad I_{G}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}=m_{0}R^{2}.\end{array}}$

Ecuación de movimiento con Dinámica analítica

La función de Lagrange es

$L=T-U.$

La energía cinética la tenemos del apartado anterior. La energía potencial es la que corresponde a la gravedad. Eligiendo como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del eje $OX_{1}$, tenemos

$U=mg4R\,\mathrm {sen} \,\phi =8m_{0}gR\,\mathrm {sen} \,\phi .$

Por tanto la función de Lagrange es

$L=24m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}^{2}-8m_{0}gR\,\mathrm {sen} \,\phi .$

Sólo hay un grado de libertad. Entonces sólo hay una ecuación de movimiento

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \phi }}=Q_{\phi }^{\,NC}.$

El término $Q_{\phi }^{\,NC}$ proviene del momento de fuerza que actúa sobre el disco. Procedemos a hacer los cálculos

${\begin{array}{l}{\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=48m_{0}R^{2}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)=48m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}\\{\dfrac {\partial L}{\partial \phi }}=-8m_{0}gR\cos \phi \\Q_{\phi }^{\,NC}={\vec {\tau }}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {\omega }}_{21}}{\partial {\dot {\phi }}}}=\left(\tau \,{\vec {k}}\right)\cdot (-4\,{\vec {k}})=-4\tau .\end{array}}$

Por tanto, la ecuación de movimiento es

$12m_{0}R^{2}{\ddot {\phi }}+2m_{0}gR\cos \phi =-\tau .$